Question

आकृति में ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि

1. OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
2. AF² + OB² + CE² = AE² + CD² + BF²

 

Answer 1

दिया है: ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु O तथा
OD ⊥ BC, OE ⊥ CA, OF ⊥ AB

रचना: OA, OB और OC को मिलाइए।

(i) ∵ पाइथागोरस प्रमेय से,

समकोण ∆OFA में,

OA² – OF² = AF² …(1)

समकोण ∆ODB में,

OB² – OD² = BD² ….(2)

एवं समकोण ∆OEC में,

OC² – OE² = CE² …(3)

OA² – OF² + OB² – OD² + OC² – OE² = AF² + BD² + CE²

[समीकरण (1) + (2) + (3) से]

OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE² …(4)

इति सिद्धम्

(ii) चूँकि पाइथागोरस प्रमेय से,

समकोण ∆OEA में,

OA² – OE² = AE² ….(5)

समकोण ∆OFB में,

OB² – OF² = BF² ….(6)

एवं समकोण ∆ODC में,

OC² – OD² = CD2 ….(7)

OA² – OE² + OB² – OF² + OC² – OD² = AE² + BF² + CD²

[समीकरण (5) + (6) + (7) से]

OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AE² + CD² + BF² …(8)

AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

[समीकरण (4) एवं (8) से]

इति सिद्धम्