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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
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उत्तर
माना एक समकोण त्रिभुज BAC है जिसमें ∠A समकोण है और AC = y, AB = x है।
ΔABC की तीन भुजाओं पर तीन समबाहु त्रिभुज ΔAEC, ΔAFB और ΔCBD खींचे गए हैं।
पुनः माना कि AC, AS और BC पर बने त्रिभुजों का क्षेत्रफल क्रमशः A1, A2 और A3 है।
साबित करने के लिए: A3 = A1 + A2
प्रमाण: ΔCAB में,
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
BC2 = AC2 + AB2
⇒ BC2 = y2 + x2
⇒ BC = `sqrt(y^2 + x^2)`
हम जानते हैं कि,
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = `sqrt(3)/4` (भुजा)2
∴ समबाहु ΔAEC का क्षेत्रफल,
A1 = `sqrt(3)/4 ("AC")^2`
⇒ A1 = `sqrt(3)/4 y^2` ...(i)
और समबाहु ΔAFB का क्षेत्रफल,
A2 = `sqrt(3)/4 ("AB")^2`
= `(sqrt(3)x^2)/4` ...(ii)
और समबाहु ΔCBD का क्षेत्रफल,
A3 = `sqrt(3)/4 ("CB")^2`
= `sqrt(3)/4 (y^2 + x^2)`
= `sqrt(3)/4 y^2 + sqrt(3)/4 x^2`
= A1 + A2 ...[समीकरण (i) और (ii) से]
⇒ A3 = A1 + A2
अतः सिद्ध हुआ।
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