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प्रश्न
आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि
(i) AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AC2 + AB2 = 2AD2 + `1/2` BC2
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उत्तर
(i) ∵ समकोण ∆AMD में, ∠AMD समकोण है
⇒ AM2 + MD2 = AD2 …(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
∵ समकोण ∆AMC में, ∠AMC समकोण है
⇒ AC2 = AM2 + MC2 [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AC2 = AM2 + (MD + DC)2
⇒ AC2 = AM2 + MD2 + DC2 + 2MD.DC
⇒ AC2 = AMD + MD2 + `("BC"/2)^2` + BC.DM …(2)
[DC = `"BC"/2` , BC = 2 DC]
⇒ AC2 = AD2 + `("BC"/2)^2` + BC.DM [समीकरण (1) और (2)]
⇒ AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2`
इति सिद्धम्
(ii) ∵ समकोण ∆AMD में, ∠ADM समकोण है
⇒ AM2 + MD2 = AD2 …(1)[पाइथागोरस प्रमेय से]
∵ समकोण ∆AMB में ∠AMB समकोण है
⇒ AB2 = AM2 + BM2 [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AB2 = AM2 + (BD – MD)2
⇒ AB2 = AM2 + BD2 + MD2 – 2BD.MD
⇒ AB2 = AM2 + MD2 – 2BD.DM + BD2
⇒ AB2 = AM2 + MD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2` ….(2)[2BD = BC ⇒ BD = `"BC"/2`]
⇒ AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2`
इति सिद्धम्
(iii) अधिककोण ∆ADC में,
चूँकि AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2` …..(1)
[भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
एवं न्यूनकोण त्रिभुज ADB में,
चूँकि AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2` …(2)
[भाग (ii) में सिद्ध कर चुके हैं।
⇒ AC2 + AB2 = 2AD2 + 2`("BC"/2)^2` [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ AC2 + AB2 = 2AD2 + 2`"BC"^2/4`
⇒ AC2 + AB2 = 2AD2 + `1/2` BC2
इति सिद्धम्
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