Advertisements
Advertisements
Question
आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि
(i) AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AC2 + AB2 = 2AD2 + `1/2` BC2
Advertisements
Solution
(i) ∵ समकोण ∆AMD में, ∠AMD समकोण है
⇒ AM2 + MD2 = AD2 …(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
∵ समकोण ∆AMC में, ∠AMC समकोण है
⇒ AC2 = AM2 + MC2 [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AC2 = AM2 + (MD + DC)2
⇒ AC2 = AM2 + MD2 + DC2 + 2MD.DC
⇒ AC2 = AMD + MD2 + `("BC"/2)^2` + BC.DM …(2)
[DC = `"BC"/2` , BC = 2 DC]
⇒ AC2 = AD2 + `("BC"/2)^2` + BC.DM [समीकरण (1) और (2)]
⇒ AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2`
इति सिद्धम्
(ii) ∵ समकोण ∆AMD में, ∠ADM समकोण है
⇒ AM2 + MD2 = AD2 …(1)[पाइथागोरस प्रमेय से]
∵ समकोण ∆AMB में ∠AMB समकोण है
⇒ AB2 = AM2 + BM2 [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AB2 = AM2 + (BD – MD)2
⇒ AB2 = AM2 + BD2 + MD2 – 2BD.MD
⇒ AB2 = AM2 + MD2 – 2BD.DM + BD2
⇒ AB2 = AM2 + MD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2` ….(2)[2BD = BC ⇒ BD = `"BC"/2`]
⇒ AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2`
इति सिद्धम्
(iii) अधिककोण ∆ADC में,
चूँकि AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2` …..(1)
[भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
एवं न्यूनकोण त्रिभुज ADB में,
चूँकि AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2` …(2)
[भाग (ii) में सिद्ध कर चुके हैं।
⇒ AC2 + AB2 = 2AD2 + 2`("BC"/2)^2` [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ AC2 + AB2 = 2AD2 + 2`"BC"^2/4`
⇒ AC2 + AB2 = 2AD2 + `1/2` BC2
इति सिद्धम्
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
18 m ऊंचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूँटे से जुड़ा हुआ है। खंभे के आधार से खूँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लंबाई 24 m है।
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 km/hr की चाल से उड़ता है। `1 1/2` घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है।
किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए: ∆ABC में, AB = `6sqrt3` cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm है। कोण B है: ______
आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° हैं तथा AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 + 2 BC.BD है।
5 m लंबी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे इस प्रकार टिकी हुई है कि उसका ऊपरी सिरा दीवार पर 4 m ऊँचे बिंदु तक पहुँचता है। यदि सीढ़ी के निचले सिरे को दीवार की ओर 1.6 m खिसकाया जाए, तो वह दूरी ज्ञात कीजिए जो सीढ़ी का ऊपरी सिरा ऊपर की ओर दीवार पर सरक जाएगा।
शहर A से शहर B तक जाने के लिए एक मार्ग शहर C से होकर इस प्रकार जाता है कि AC ⊥ CB है, AC = 2x km और CB = 2(x + 7) km है। दोनों शहरों A और B को सीधा जोड़ने के लिए, एक 26 km लंबे राजमार्ग बनाने की एक योजना है। ज्ञात कीजिए कि राजमार्ग बन जाने के बाद, शहर A से शहर B तक जाने में कितनी दूरी कम चलनी पड़ेगी।
किसी चतुर्भुज ABCD में, ∠A + ∠D = 90° है। सिद्ध कीजिए कि AC2 + BD2 = AD2 + BC2 है।
[संकेत : AB और DC को E पर मिलने के लिए बढ़ाइए]।
आकृति में, रेखाखंड DF त्रिभुज ABC की भुजा AC को बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि E, भुजा AC का मध्य-बिंदु है और ∠AEF = ∠AFE है। सिद्ध कीजिए कि `(BD)/(CD) = (BF)/(CE)` है।
