Advertisements
Advertisements
Question
आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि
(i) AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2`
(ii) AC2 + AB2 = 2AD2 + `1/2` BC2
Advertisements
Solution
(i) ∵ समकोण ∆AMD में, ∠AMD समकोण है
⇒ AM2 + MD2 = AD2 …(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
∵ समकोण ∆AMC में, ∠AMC समकोण है
⇒ AC2 = AM2 + MC2 [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AC2 = AM2 + (MD + DC)2
⇒ AC2 = AM2 + MD2 + DC2 + 2MD.DC
⇒ AC2 = AMD + MD2 + `("BC"/2)^2` + BC.DM …(2)
[DC = `"BC"/2` , BC = 2 DC]
⇒ AC2 = AD2 + `("BC"/2)^2` + BC.DM [समीकरण (1) और (2)]
⇒ AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2`
इति सिद्धम्
(ii) ∵ समकोण ∆AMD में, ∠ADM समकोण है
⇒ AM2 + MD2 = AD2 …(1)[पाइथागोरस प्रमेय से]
∵ समकोण ∆AMB में ∠AMB समकोण है
⇒ AB2 = AM2 + BM2 [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AB2 = AM2 + (BD – MD)2
⇒ AB2 = AM2 + BD2 + MD2 – 2BD.MD
⇒ AB2 = AM2 + MD2 – 2BD.DM + BD2
⇒ AB2 = AM2 + MD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2` ….(2)[2BD = BC ⇒ BD = `"BC"/2`]
⇒ AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2`
इति सिद्धम्
(iii) अधिककोण ∆ADC में,
चूँकि AC2 = AD2 + BC.DM + `("BC"/2)^2` …..(1)
[भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
एवं न्यूनकोण त्रिभुज ADB में,
चूँकि AB2 = AD2 – BC.DM + `("BC"/2)^2` …(2)
[भाग (ii) में सिद्ध कर चुके हैं।
⇒ AC2 + AB2 = 2AD2 + 2`("BC"/2)^2` [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ AC2 + AB2 = 2AD2 + 2`"BC"^2/4`
⇒ AC2 + AB2 = 2AD2 + `1/2` BC2
इति सिद्धम्
RELATED QUESTIONS
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
13 cm, 12 cm, 5 cm
आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
AC2 = BC.DC
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB2 = 2AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके पाद बिंदुओं के बीच की दूरी 12 m है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° हैं तथा AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 + 2 BC.BD है।
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिंदु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति)? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अंदर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाज़िमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
10 m लंबी एक सीढ़ी, जो एक उर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिकी हुई है, के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी 6 m है। दीवार पर उस बिंदु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जहाँ तक सीढ़ी का ऊपरी सिरा पहुँचता है।
18 m ऊँचे एक ध्वज स्तंभ की छाया की लंबाई 9.6 m है। इस स्तंभ के ऊपरी सिरे की छाया के दूरस्थ सिरे से दूरी ज्ञात कीजिए।
आकृति में PQR एक समकोण त्रिभुज है, जिसका ∠Q समकोण है तथा QS ⊥ PR है। यदि PQ = 6 cm और PS = 4 cm है, तो QS, RS और QR ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
