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प्रश्न
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है।
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उत्तर
दिया है: ABC एक त्रिभुज जिसका ∠C = 90°. इसकी भुजाओं CA एवं CB पर क्रमशः बिन्दु D और E स्थित हैं।
AE, BD एवं DE को मिलाया गया है।
चूँकि समकोण ∆ACE में, ∠ACE समकोण है
AE2 = AC2 + EC2 ….(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆BCD में, ∠BCD समकोण है
BD2 = BC2 + DC2 …(2) पाइथागोरस प्रमेय से]
AE2 + BD2 = AC2 + BC2 + EC2 + DC2 …(3)
[समीकरण (1) + (2) से]
समकोण ∆ACB में, ∠ACB समकोण है
AB2 = AC2 + BC2 …(4) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆DCE में, ∠DCE समकोण है
DE2 = DC2 + EC2 …(5)
AB2 + DE2 = AC2 + BC2 + EC2 + DC2 …(6) [समीकरण (4) + (5) से]
AE2 + BD2 = AB2 + DE2 [समीकरण (3) एवं (6) से]
इति सिद्धम्
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सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
