Advertisements
Advertisements
Question
जर अंकगणिती श्रेढीतील पहिल्या p पदांची बेरीज ही पहिल्या q पदांच्या बेरजेबरोबर असेल, तर त्यांच्या पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज शून्य असते हे दाखवा. (p ≠ q).
Advertisements
Solution
या अंकगणिती श्रेढीचे, पहिले पद 'a' आणि सामान्य फरक 'd' मानू.
अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज,
`"S"_"n" = "n"/2`[2a + (n - 1)d]
दिलेल्या अटीनुसार, Sp = Sq
∴ `"p"/2`[2a + (p - 1)d] = `"q"/2`[2a + (q - 1)d]
∴ p [2a + (p - 1)d] = q [2a +(q - 1)d]
∴ 2ap + p (p - 1)d = 2aq + q (q - 1)d
∴ 2ap + p2d - pd = 2aq + q2d - qd
∴ 2ap + p2d - pd - 2aq - q2d + qd = 0
∴ (2ap – 2aq) + (p2d - q2d) - (pd - qd) = 0
∴ 2a(p - q) + d(p2 - q2) - d(p - q) = 0
∴ 2a(p - q) + d(p + q)(p - q) - d(p - q) = 0
∴ (p - q)[2a + d(p + q) - d] = 0
∴ (p – q) [2a + (p + q - 1)d] = 0
∴ परंतु, p ≠ q ...[दिलेले]
∴ 2a + (p + q – 1)d = 0 ...(i)
पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज,
`"S"_("p + q") = ("p + q")/2` [2a + (p + q - 1)d]
= `(p + q)/2`(0) ....[(i) वरून]
∴ `"S"_("p + q")` = 0
∴ पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज शून्य आहे.
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
1 व 140 यांच्या दरम्यान, 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज किती आहे, हे काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
1 व 140 यांच्या दरम्यान 4 ने भाग जाणाऱ्या संख्यांची बेरीज = `square`
एका अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या 55 पदांची बेरीज 3300 आहे, तर तिचे 28 वे पद काढा.
एका अंकगणिती श्रेढीतील चार क्रमागत पदांची बेरीज 12 आहे. तसेच, त्या चार क्रमागत पदांपैकी तिसऱ्या व चौथ्या पदांची बेरीज 14 आहे, तर ती चार पदे काढा.
(चार क्रमागत पदे a - d, a, a + d, a + 2d माना.)
ज्या अंकगणिती श्रेढीचे पहिले पद a आहे. दुसरे पद b आहे आणि शेवटचे पद c आहे, तर त्या श्रेढीतील सर्व पदांची बेरीज `((a + c)(b + c - 2a))/(2(b - a))` एवढी आहे हे दाखवा.
एका क्रमिकेत tn = 2n - 5 आहे, तर तिची पहिली दोन पदे काढा.
12, 14, 16, 18, 20, ......... या अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या 100 पदांची बेरीज करा.
कृती: येथे, a = 12, d = `square` n = 100, S100 = ?
Sn = `"n"/2[square + ("n" - 1)"d"]`
S100 = `square/2`[24 + (100 – 1)d]
= 50 (24 + `square`)
= `square`
= `square`
4 ने भाग जाणाऱ्या तीन अंकी नैसर्गिक संख्यांची बेरीज काढा.
1 + 3 + 5 + ......... + 101 या 1 ते 101 पर्यंत विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करा.
त्रिकोणाच्या तीन कोनांची मापे अंकगणिती श्रेढरीमध्ये आहेत. सर्वांत लहान कोनाचे माप साधारण फरकाच्या पाचपट आहे, तर त्या त्रिकोणाच्या तीनही कोनांची मापे काढा. (त्रिकोणाच्या कोनांची मापे a, a + d, a + 2d घ्या.)
ज्या अंकगणिती श्रेढीत पहिले पद p आहे, दुसरे पद q आहे आणि शेवटचे पद r आहे तर त्या श्रेढीतील सर्व पदांची बेरीज `(q + r - 2p) xx (p + r)/(2(q - p))` एवढी आहे हे दाखवा.
