Advertisements
Advertisements
प्रश्न
जर अंकगणिती श्रेढीतील पहिल्या p पदांची बेरीज ही पहिल्या q पदांच्या बेरजेबरोबर असेल, तर त्यांच्या पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज शून्य असते हे दाखवा. (p ≠ q).
Advertisements
उत्तर
या अंकगणिती श्रेढीचे, पहिले पद 'a' आणि सामान्य फरक 'd' मानू.
अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज,
`"S"_"n" = "n"/2`[2a + (n - 1)d]
दिलेल्या अटीनुसार, Sp = Sq
∴ `"p"/2`[2a + (p - 1)d] = `"q"/2`[2a + (q - 1)d]
∴ p [2a + (p - 1)d] = q [2a +(q - 1)d]
∴ 2ap + p (p - 1)d = 2aq + q (q - 1)d
∴ 2ap + p2d - pd = 2aq + q2d - qd
∴ 2ap + p2d - pd - 2aq - q2d + qd = 0
∴ (2ap – 2aq) + (p2d - q2d) - (pd - qd) = 0
∴ 2a(p - q) + d(p2 - q2) - d(p - q) = 0
∴ 2a(p - q) + d(p + q)(p - q) - d(p - q) = 0
∴ (p - q)[2a + d(p + q) - d] = 0
∴ (p – q) [2a + (p + q - 1)d] = 0
∴ परंतु, p ≠ q ...[दिलेले]
∴ 2a + (p + q – 1)d = 0 ...(i)
पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज,
`"S"_("p + q") = ("p + q")/2` [2a + (p + q - 1)d]
= `(p + q)/2`(0) ....[(i) वरून]
∴ `"S"_("p + q")` = 0
∴ पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज शून्य आहे.
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
पहिल्या 123 सम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज काढा.
एका अंकगणिती श्रेढीचे 19 वे पद 52 आणि 38 वे पद 128 आहे, तर तिच्या पहिल्या 56 पदांची बेरीज काढा.
एका अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या 55 पदांची बेरीज 3300 आहे, तर तिचे 28 वे पद काढा.
ज्या अंकगणिती श्रेढीचे पहिले पद a आहे. दुसरे पद b आहे आणि शेवटचे पद c आहे, तर त्या श्रेढीतील सर्व पदांची बेरीज `((a + c)(b + c - 2a))/(2(b - a))` एवढी आहे हे दाखवा.
एका क्रमिकेत tn = 2n - 5 आहे, तर तिची पहिली दोन पदे काढा.
4 ने भाग जाणाऱ्या तीन अंकी नैसर्गिक संख्यांची बेरीज काढा.
1 ते 50 मधील सर्व विषम संख्यांची बेरीज करा.
1 ते 140 मधील 4 ने भाग जाणाऱ्या सर्व संख्यांची बेरीज करा.
पहिल्या 'n' सम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करा.
ज्या अंकगणिती श्रेढीत पहिले पद p आहे, दुसरे पद q आहे आणि शेवटचे पद r आहे तर त्या श्रेढीतील सर्व पदांची बेरीज `(q + r - 2p) xx (p + r)/(2(q - p))` एवढी आहे हे दाखवा.
