Advertisements
Advertisements
प्रश्न
जर अंकगणिती श्रेढीतील पहिल्या p पदांची बेरीज ही पहिल्या q पदांच्या बेरजेबरोबर असेल, तर त्यांच्या पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज शून्य असते हे दाखवा. (p ≠ q).
Advertisements
उत्तर
या अंकगणिती श्रेढीचे, पहिले पद 'a' आणि सामान्य फरक 'd' मानू.
अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज,
`"S"_"n" = "n"/2`[2a + (n - 1)d]
दिलेल्या अटीनुसार, Sp = Sq
∴ `"p"/2`[2a + (p - 1)d] = `"q"/2`[2a + (q - 1)d]
∴ p [2a + (p - 1)d] = q [2a +(q - 1)d]
∴ 2ap + p (p - 1)d = 2aq + q (q - 1)d
∴ 2ap + p2d - pd = 2aq + q2d - qd
∴ 2ap + p2d - pd - 2aq - q2d + qd = 0
∴ (2ap – 2aq) + (p2d - q2d) - (pd - qd) = 0
∴ 2a(p - q) + d(p2 - q2) - d(p - q) = 0
∴ 2a(p - q) + d(p + q)(p - q) - d(p - q) = 0
∴ (p - q)[2a + d(p + q) - d] = 0
∴ (p – q) [2a + (p + q - 1)d] = 0
∴ परंतु, p ≠ q ...[दिलेले]
∴ 2a + (p + q – 1)d = 0 ...(i)
पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज,
`"S"_("p + q") = ("p + q")/2` [2a + (p + q - 1)d]
= `(p + q)/2`(0) ....[(i) वरून]
∴ `"S"_("p + q")` = 0
∴ पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज शून्य आहे.
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
एका अंकगणिती श्रेढीचे पहिले पद 6 व सामान्य फरक 3 आहे तर S27 काढा.
a = 6, d = 3, S27 = ?
`"S"_"n" = "n"/2 [square + ("n" - 1)"d"]`
`"S"_27 = 27/2 [12 + (27 - 1)square]`
`= 27/2 xx square`
= 27 × 45 = `square`
पहिल्या 123 सम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज काढा.
एका अंकगणिती श्रेढीचे 19 वे पद 52 आणि 38 वे पद 128 आहे, तर तिच्या पहिल्या 56 पदांची बेरीज काढा.
एका अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या 55 पदांची बेरीज 3300 आहे, तर तिचे 28 वे पद काढा.
एका अंकगणिती श्रेढीतील चार क्रमागत पदांची बेरीज 12 आहे. तसेच, त्या चार क्रमागत पदांपैकी तिसऱ्या व चौथ्या पदांची बेरीज 14 आहे, तर ती चार पदे काढा.
(चार क्रमागत पदे a - d, a, a + d, a + 2d माना.)
एका अंकगणिती श्रेढीचे नववे पद शून्य आहे, तर 29 वे पद हे 19 व्या पदाच्या दुप्पट आहे दाखवा.
1 ते 50 मधील सर्व विषम संख्यांची बेरीज करा.
1 + 3 + 5 + ......... + 101 या 1 ते 101 पर्यंत विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करा.
त्रिकोणाच्या तीन कोनांची मापे अंकगणिती श्रेढरीमध्ये आहेत. सर्वांत लहान कोनाचे माप साधारण फरकाच्या पाचपट आहे, तर त्या त्रिकोणाच्या तीनही कोनांची मापे काढा. (त्रिकोणाच्या कोनांची मापे a, a + d, a + 2d घ्या.)
ज्या अंकगणिती श्रेढीत पहिले पद p आहे, दुसरे पद q आहे आणि शेवटचे पद r आहे तर त्या श्रेढीतील सर्व पदांची बेरीज `(q + r - 2p) xx (p + r)/(2(q - p))` एवढी आहे हे दाखवा.
