Question

जर अंकगणिती श्रेढीतील पहिल्या p पदांची बेरीज ही पहिल्या q पदांच्या बेरजेबरोबर असेल, तर त्यांच्या पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज शून्य असते हे दाखवा. (p ≠ q).

Answer 1

या अंकगणिती श्रेढीचे, पहिले पद 'a' आणि सामान्य फरक 'd' मानू.

अंकगणिती श्रेढीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज,

`"S"_"n" = "n"/2`[2a + (n - 1)d]

दिलेल्या अटीनुसार, S_p = S_q

∴ `"p"/2`[2a + (p - 1)d] = `"q"/2`[2a + (q - 1)d]

∴ p [2a + (p - 1)d] = q [2a +(q - 1)d]

∴ 2ap + p (p - 1)d = 2aq + q (q - 1)d

∴ 2ap + p²d - pd = 2aq + q²d - qd

∴ 2ap + p²d - pd - 2aq - q²d + qd = 0

∴ (2ap – 2aq) + (p²d - q²d) - (pd - qd) = 0

∴ 2a(p - q) + d(p² - q²) - d(p - q) = 0

∴ 2a(p - q) + d(p + q)(p - q) - d(p - q) = 0

∴ (p - q)[2a + d(p + q) - d] = 0

∴ (p – q) [2a + (p + q - 1)d] = 0

∴ परंतु, p ≠ q      ...[दिलेले]

∴ 2a + (p + q – 1)d = 0      ...(i)

पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज,

`"S"_("p + q") = ("p + q")/2` [2a + (p + q - 1)d]

= `(p + q)/2`(0)      ....[(i) वरून]

∴ `"S"_("p + q")` = 0

∴ पहिल्या (p + q) पदांची बेरीज शून्य आहे.