Question

जिस अंकगणितीय श्रृंखला का प्रथम पद a, दूसरा पद b और अंतिम पद c हो तो उस श्रृंखला के सभी पदों का योगफल `(("a" + "c") ("b" + "c" - 2"a"))/2 ("b" - "a")` है सिद्‌ध कीजिए।

Answer 1

उपपत्ति: यहाँ पर पहला पद = t₁ = a तथा दूसरा पद = t₂ = b दिया गया है।

∴ सामान्य अंतर = d = t₂ − t₁ = (b − a)

इस अंकगणितीय श्रृंखला में कुल कितने पद हैं, ज्ञात करेंगे।

माना, कुल n पद हैं।

इस श्रृंखला का अंतिम पद (n वाँ पद) यह c दिया है।

∴ t_n = c

प्राप्त सभी मान नीचे दिए गए सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,

t_n = a + (n − 1)d .........(सूत्र)

∴ c = a + (n − 1) × (b − a) .......(मान प्रतिस्थापित करने पर)

∴ c − a = (n − 1) × (b − a)

∴ `("c" - "a")/("b" - "a")` = n − 1

∴ n = `("c" - "a")/("b" − "a") + 1 = ("c" − "a" + "b" - "a")/("b" − "a") = ("c" + "b" - "2a")/("b" - "a")`

∴ इस श्रृंखला के पदों की संख्या = n = `("b" + "c" - 2"a")/("b" - "a")`

अब, इस श्रृंखला के n पदों का योगफल नीचे दिए गए सूत्र से ज्ञात करेंगे।

S_n = `"n"/2` [t₁ + t_n]

= `((("b" + "c" - 2"a")/(("b" - "a"))))/2 ["a" + "c"]`

= `("b" + "c" - 2"a")/(2("b" - "a")) ("a" + "c")`

∴ S_n = `(("a" + "c") ("b" + "c" - 2"a"))/(2("b" - "a"))`

∴ इस श्रृंखला के पदों का योगफल `(("a" + "c") ("b" + "c" - 2"a"))/(2("b" - "a"))` है।