Question

एक अंकगणितीय श्रृंखला मेंं 37 पद हैं। सबसे मध्य के तीन पदों का योगफल 225 है और अंतिम तीन पदों का योगफल 429 हो तो अंकगणितीय श्रृंखला लिखिए।

Answer 1

दी गई अंकगणितीय श्रृंखला में 37 पद हैं।

∴ n = 37

∴ इस श्रृंखला का मध्य पद = `("n" + 1)/2 = (37 + 1)/2 = 38/2` = 19

∴ इस श्रृंखला का 19 वाँ पद सबसे मध्य में हैं।

∴ इस श्रृंखला में 18, 19, 20 क्रमिक पद सबसे मध्य में हैं।

∴ दी गई शर्त के आधार पर,

(t₁₈) + (t₁₉) + (t₂₀) = 225

सूत्र t_n = a + (n − 1)d का उपयोग करने पर,

t₁₈ = a + (18 − 1)d = a + 17d

t₁₉ = a + (19 − 1)d = a + 18d

t₂₀ = a + (20 − 1)d = a + 19d

∴ (a + 17d) + (a + 18d) + (a + 19d) = 225

∴ 3a + 54d = 225

∴ a + 18d = 75 ..............(I) (प्रत्येक पद में 3 से भाग देने पर)

अब, इस श्रृंखला में 37 पद हैं।

∴ इस श्रृंखला में 35, 36 तथा 37 वें क्रम के पद, अंतिम 3 पद हैं।

∴ दी गई शर्त के आधार पर,

(t₃₅) + (t₃₆) + (t₃₇) = 429

t₃₅ = a + (35 − 1)d = a + 34d

t₃₆ = a + (36 − 1)d = a + 35d

t₃₇ = a + (37 − 1)d = a + 36d

∴ (a + 34d) + (a + 35d) + (a + 36d) = 429

∴ 3a + 105d = 429

∴ a + 35d = 143 ........(II) (प्रत्येक पद में 3 से भाग देने पर)

समीकरण (III) में से समीकरण (II) घटाने पर,

    a + 35d = 143 ........(II)
− a + 18d = 75 ..............(I)
−    −          −        
17d = 68

∴ d = 4

d = 4 यह मान समीकरण (I) में प्रतिस्थापित करने पर,

a + 18d = 75

∴ a + 18 × 4 = 75 .........(मान प्रतिस्थापित करने पर)

∴ a = 75 − 72 = 3

∴ पहला पद = a = t₁ = 3

दूसरा पद = t₂ = t₁ + d = 3 + 4 = 7

तीसरा पद = t₃ = t₂ + d = 7 + 4 = 11

तथा 37 वाँ पद = a + 36d

= 3 + 36 × 4

= 3 + 144

= 147

∴ दी गई अंकगणितीय श्रृंखला 3, 7, 11, 15, ..., 147 है।