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प्रश्न
एक अंकगणितीय श्रृंखला मेंं 37 पद हैं। सबसे मध्य के तीन पदों का योगफल 225 है और अंतिम तीन पदों का योगफल 429 हो तो अंकगणितीय श्रृंखला लिखिए।
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उत्तर
दी गई अंकगणितीय श्रृंखला में 37 पद हैं।
∴ n = 37
∴ इस श्रृंखला का मध्य पद = `("n" + 1)/2 = (37 + 1)/2 = 38/2` = 19
∴ इस श्रृंखला का 19 वाँ पद सबसे मध्य में हैं।
∴ इस श्रृंखला में 18, 19, 20 क्रमिक पद सबसे मध्य में हैं।
∴ दी गई शर्त के आधार पर,
(t18) + (t19) + (t20) = 225
सूत्र tn = a + (n − 1)d का उपयोग करने पर,
t18 = a + (18 − 1)d = a + 17d
t19 = a + (19 − 1)d = a + 18d
t20 = a + (20 − 1)d = a + 19d
∴ (a + 17d) + (a + 18d) + (a + 19d) = 225
∴ 3a + 54d = 225
∴ a + 18d = 75 ..............(I) (प्रत्येक पद में 3 से भाग देने पर)
अब, इस श्रृंखला में 37 पद हैं।
∴ इस श्रृंखला में 35, 36 तथा 37 वें क्रम के पद, अंतिम 3 पद हैं।
∴ दी गई शर्त के आधार पर,
(t35) + (t36) + (t37) = 429
t35 = a + (35 − 1)d = a + 34d
t36 = a + (36 − 1)d = a + 35d
t37 = a + (37 − 1)d = a + 36d
∴ (a + 34d) + (a + 35d) + (a + 36d) = 429
∴ 3a + 105d = 429
∴ a + 35d = 143 ........(II) (प्रत्येक पद में 3 से भाग देने पर)
समीकरण (III) में से समीकरण (II) घटाने पर,
a + 35d = 143 ........(II)
− a + 18d = 75 ..............(I)
− − −
17d = 68
∴ d = 4
d = 4 यह मान समीकरण (I) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 18d = 75
∴ a + 18 × 4 = 75 .........(मान प्रतिस्थापित करने पर)
∴ a = 75 − 72 = 3
∴ पहला पद = a = t1 = 3
दूसरा पद = t2 = t1 + d = 3 + 4 = 7
तीसरा पद = t3 = t2 + d = 7 + 4 = 11
तथा 37 वाँ पद = a + 36d
= 3 + 36 × 4
= 3 + 144
= 147
∴ दी गई अंकगणितीय श्रृंखला 3, 7, 11, 15, ..., 147 है।
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