Question

यदि किसी अंकगणितीय श्रृंखला के पहले p पदों का योग पहले q पदों के योगफल के बराबर हो दिखाइए कि उसके पहले (p + q) पदों का योगफल शून्य है। (p ≠ q)

Answer 1

उपपत्ति: मानो, दी गई अंकगणितीय श्रृंखला का पहला पद a तथा सामान्य अंतर d है।

अब, S_p = S_q दिया है।

S_n = `"n"/2 [2"a" + ("n" - 1)"d"]` इस सूत्र के अनुसार,

`"p"/2` [2a + (p − 1)d] = `"q"/2` [2a + (q − 1)d]

∴ p [2a + (p − 1)d] = q [2a + (q − 1)d] ......(2 से गुणा करने पर)

∴ p(2a) + p(p − 1)d − q(2a) − q(q − 1)d = 0

∴ p(2a) − q(2a) + p(p − 1)d − q(q − 1)d = 0

∴ 2a (p − q) + [p(p − 1)d − q(q − 1)]d = 0

∴ 2a (p − q) + (p² − p − q² + q)d = 0

∴ 2a (p − q) + (p² − q² − p + q)d = 0

∴ 2a (p − q) + [(p − q) (p + q) − (p − q)d] = 0

∴ 2a (p − q) + (p − q) [p + q − 1]d = 0

∴ (p − q) [2a + (p + q − 1)d] = 0

परंतु, p ≠ q

∴ p − q ≠ 0

∴ 2a + (p + q − 1)d = 0 ............(I)

अब, S_p+q = `("p" + "q")/2` [2a + (p + q − 1)d] ..........(सूत्रानुसार)

= `("p" + "q")/2 xx 0` ......[कथन (I) से]

= 0

∴ S_p+q = 0

∴ पहले (p + q) पदों का योगफल शून्य है।