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Question
यदि किसी अंकगणितीय श्रृंखला के पहले p पदों का योग पहले q पदों के योगफल के बराबर हो दिखाइए कि उसके पहले (p + q) पदों का योगफल शून्य है। (p ≠ q)
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Solution
उपपत्ति: मानो, दी गई अंकगणितीय श्रृंखला का पहला पद a तथा सामान्य अंतर d है।
अब, Sp = Sq दिया है।
Sn = `"n"/2 [2"a" + ("n" - 1)"d"]` इस सूत्र के अनुसार,
`"p"/2` [2a + (p − 1)d] = `"q"/2` [2a + (q − 1)d]
∴ p [2a + (p − 1)d] = q [2a + (q − 1)d] ......(2 से गुणा करने पर)
∴ p(2a) + p(p − 1)d − q(2a) − q(q − 1)d = 0
∴ p(2a) − q(2a) + p(p − 1)d − q(q − 1)d = 0
∴ 2a (p − q) + [p(p − 1)d − q(q − 1)]d = 0
∴ 2a (p − q) + (p2 − p − q2 + q)d = 0
∴ 2a (p − q) + (p2 − q2 − p + q)d = 0
∴ 2a (p − q) + [(p − q) (p + q) − (p − q)d] = 0
∴ 2a (p − q) + (p − q) [p + q − 1]d = 0
∴ (p − q) [2a + (p + q − 1)d] = 0
परंतु, p ≠ q
∴ p − q ≠ 0
∴ 2a + (p + q − 1)d = 0 ............(I)
अब, Sp+q = `("p" + "q")/2` [2a + (p + q − 1)d] ..........(सूत्रानुसार)
= `("p" + "q")/2 xx 0` ......[कथन (I) से]
= 0
∴ Sp+q = 0
∴ पहले (p + q) पदों का योगफल शून्य है।
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