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Question
यदि किसी अंकगणितीय श्रृंखला के पहले p पदों का योग पहले q पदों के योगफल के बराबर हो दिखाइए कि उसके पहले (p + q) पदों का योगफल शून्य है। (p ≠ q)
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Solution
उपपत्ति: मानो, दी गई अंकगणितीय श्रृंखला का पहला पद a तथा सामान्य अंतर d है।
अब, Sp = Sq दिया है।
Sn = `"n"/2 [2"a" + ("n" - 1)"d"]` इस सूत्र के अनुसार,
`"p"/2` [2a + (p − 1)d] = `"q"/2` [2a + (q − 1)d]
∴ p [2a + (p − 1)d] = q [2a + (q − 1)d] ......(2 से गुणा करने पर)
∴ p(2a) + p(p − 1)d − q(2a) − q(q − 1)d = 0
∴ p(2a) − q(2a) + p(p − 1)d − q(q − 1)d = 0
∴ 2a (p − q) + [p(p − 1)d − q(q − 1)]d = 0
∴ 2a (p − q) + (p2 − p − q2 + q)d = 0
∴ 2a (p − q) + (p2 − q2 − p + q)d = 0
∴ 2a (p − q) + [(p − q) (p + q) − (p − q)d] = 0
∴ 2a (p − q) + (p − q) [p + q − 1]d = 0
∴ (p − q) [2a + (p + q − 1)d] = 0
परंतु, p ≠ q
∴ p − q ≠ 0
∴ 2a + (p + q − 1)d = 0 ............(I)
अब, Sp+q = `("p" + "q")/2` [2a + (p + q − 1)d] ..........(सूत्रानुसार)
= `("p" + "q")/2 xx 0` ......[कथन (I) से]
= 0
∴ Sp+q = 0
∴ पहले (p + q) पदों का योगफल शून्य है।
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साधारण ब्याज = `("P" xx "R" xx "N")/100`
1 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(1000 xx 10 xx 1)/100` = `square`
2 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(1000 xx 10 xx 2)/100` = `square`
3 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(square xx square xx square)/100` = 300
इस प्रकार 4, 5, 6 वर्षों के पश्चात प्राप्त होने वाला ब्याज क्रमश: 400, `square`, `square` होगा।
इस संख्या के आधार पर d = `square`, और a = `square`
20 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला ब्याज
tn = a + (n − 1)d
t20 = `square` + (20 − 1) `square`
t20 = `square`
20 वर्ष के पश्चात प्राप्त कुल ब्याज = `square`
किसी नाट्यगृह में कुर्सियों की कुल 27 कतारें हैं। पहली कतार में कुल 20 कुर्सियाँ हैं, दूसरी कतार में 22 कुर्सियाँ तथा तीसरी कतार में कुल 24 कुर्सियाँ हैं तथा आगे भी इस प्रकार हों, तो नाट्यगृह में कुल कितनी कुर्सियाँ होंगी?
