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प्रश्न
अंकगणितीय श्रृंखला को m वें पद का m गुना यह n वें पद के n गुने के बराबर हो तो दिखाइए कि उसका (m + n) वाँ पद शून्य होता है।
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उत्तर
उपपत्ति: मानो, दी गई अंकगणितीय श्रृंखला का पहला पद a तथा सामान्य अंतर d है।
अब, m × tm = n × tn .........(दिया है)
tm = a + (m − 1)d तथा tn = a + (n − 1)d
∴ m[a + (m − 1)d] = n[a + (n − 1)d]
∴ m[a + (m − 1)d] − n[a + (n − 1)d] = 0
∴ am − m(m − 1)d − an − n(n − 1)d = 0
am − an + m(m − 1)d − n(n − 1)d = 0
∴ a(m − n) + (m2 − m)d − (n2 − n)d = 0
∴ a(m − n) + d[m2 − m − n2 + n] = 0
∴ a(m − n) + d[m2 − n2 − m + n] = 0
∴ a(m − n) + d[(m − n)(m + n) − (m − n)] = 0
∴ a(m − n) + d(m + n − 1) = 0
परंतु, (m − n) `≠` 0
∴ a + (m + n − 1)d = 0 .....(I)
परंतु, श्रृंखला का (m + n) वाँ पद = `"t"_(("m" + "n"))`
= a + (m + n − 1)d ............(II)
∴ (I) तथा (II) प्रतिस्थापित करने पर,
(m + n) वाँ पद = 0
∴ इस समांतर श्रृंखला का (m + n) वाँ पद शून्य है।
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t20 = `square`
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