Question

अंकगणितीय श्रृंखला को m वें पद का m गुना यह n वें पद के n गुने के बराबर हो तो दिखाइए कि उसका (m + n) वाँ पद शून्य होता है।

Answer 1

उपपत्ति: मानो, दी गई अंकगणितीय श्रृंखला का पहला पद a तथा सामान्य अंतर d है।

अब, m × t_m = n × t_n .........(दिया है)

t_m = a + (m − 1)d तथा t_n = a + (n − 1)d

∴ m[a + (m − 1)d] = n[a + (n − 1)d]

∴ m[a + (m − 1)d] − n[a + (n − 1)d] = 0

∴ am − m(m − 1)d − an − n(n − 1)d = 0

am − an + m(m − 1)d − n(n − 1)d = 0

∴ a(m − n) + (m² − m)d − (n² − n)d = 0

∴ a(m − n) + d[m² − m − n² + n] = 0

∴ a(m − n) + d[m² − n² − m + n] = 0

∴ a(m − n) + d[(m − n)(m + n) − (m − n)] = 0

∴ a(m − n) + d(m + n − 1) = 0

परंतु, (m − n) `≠` 0

∴ a + (m + n − 1)d = 0 .....(I)

परंतु, श्रृंखला का (m + n) वाँ पद = `"t"_(("m" + "n"))`

= a + (m + n − 1)d ............(II)

∴ (I) तथा (II) प्रतिस्थापित करने पर,

(m + n) वाँ पद = 0

∴ इस समांतर श्रृंखला का (m + n) वाँ पद शून्य है।