Advertisements
Advertisements
प्रश्न
जिस अंकगणितीय श्रृंखला का प्रथम पद a, दूसरा पद b और अंतिम पद c हो तो उस श्रृंखला के सभी पदों का योगफल `(("a" + "c") ("b" + "c" - 2"a"))/2 ("b" - "a")` है सिद्ध कीजिए।
Advertisements
उत्तर
उपपत्ति: यहाँ पर पहला पद = t1 = a तथा दूसरा पद = t2 = b दिया गया है।
∴ सामान्य अंतर = d = t2 − t1 = (b − a)
इस अंकगणितीय श्रृंखला में कुल कितने पद हैं, ज्ञात करेंगे।
माना, कुल n पद हैं।
इस श्रृंखला का अंतिम पद (n वाँ पद) यह c दिया है।
∴ tn = c
प्राप्त सभी मान नीचे दिए गए सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,
tn = a + (n − 1)d .........(सूत्र)
∴ c = a + (n − 1) × (b − a) .......(मान प्रतिस्थापित करने पर)
∴ c − a = (n − 1) × (b − a)
∴ `("c" - "a")/("b" - "a")` = n − 1
∴ n = `("c" - "a")/("b" − "a") + 1 = ("c" − "a" + "b" - "a")/("b" − "a") = ("c" + "b" - "2a")/("b" - "a")`
∴ इस श्रृंखला के पदों की संख्या = n = `("b" + "c" - 2"a")/("b" - "a")`
अब, इस श्रृंखला के n पदों का योगफल नीचे दिए गए सूत्र से ज्ञात करेंगे।
Sn = `"n"/2` [t1 + tn]
= `((("b" + "c" - 2"a")/(("b" - "a"))))/2 ["a" + "c"]`
= `("b" + "c" - 2"a")/(2("b" - "a")) ("a" + "c")`
∴ Sn = `(("a" + "c") ("b" + "c" - 2"a"))/(2("b" - "a"))`
∴ इस श्रृंखला के पदों का योगफल `(("a" + "c") ("b" + "c" - 2"a"))/(2("b" - "a"))` है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सानिका ने 1 जनवरी 2016 को निश्चित किया कि उस दिन ₹ 10, दूसरे दिन ₹ 11, तीसरे दिन ₹ 12 इस प्रकार बचत करते रहना है। 31 डिसेंबर 2016 तक उसकी कुल बचत कितनी हुई?
किसी व्यक्ति ने ₹ 8000 कर्ज लिया तथा उस पर ₹ 1360 ब्याज देने का वादा किया। प्रत्येक किस्त के बाद ₹ 40 कम करते हुए कुल 12 किस्तों मेंं उसने कर्ज का भुगतान कर दिया, तो उस व्यक्ति द्वारा भुगतान की गई पहली तथा अंतिम किस्त कितनी होगी?
सचिन द्वारा राष्ट्रीय बचत प्रमाणपत्र मेंं पहले वर्ष ₹ 5000, दूसरे वर्ष ₹ 7000, तीसरे वर्ष ₹ 9000 इस प्रकार निवेश किया गया तो सचिन ने 12 वर्षों मेंं कुल कितना निवेश किया?
अंतरराष्ट्रीय पर्यावरण दिवस के उपलक्ष्य मेंं त्रिभुजाकार जमीन पर वृक्षारोपण कार्यक्रम आयोजित किया गया। पहली पंक्ति मेंं 1 पौधा दूसरी पंक्ति मेंं 2 पौधे तीसरी पंक्ति मेंं तीन इस प्रकार 25 पंक्तियों मेंं पौधे लगाए गए, तो कुल कितने पौधे लगाए गए?
एक अंकगणितीय श्रृंखला मेंं 37 पद हैं। सबसे मध्य के तीन पदों का योगफल 225 है और अंतिम तीन पदों का योगफल 429 हो तो अंकगणितीय श्रृंखला लिखिए।
यदि किसी अंकगणितीय श्रृंखला के पहले p पदों का योग पहले q पदों के योगफल के बराबर हो दिखाइए कि उसके पहले (p + q) पदों का योगफल शून्य है। (p ≠ q)
अंकगणितीय श्रृंखला को m वें पद का m गुना यह n वें पद के n गुने के बराबर हो तो दिखाइए कि उसका (m + n) वाँ पद शून्य होता है।
₹ 1000 का 10% साधारण ब्याज की दर से निवेश किया तो प्रत्येक वर्ष के अंत मेंं मिलने वाली ब्याज की रकम अंकगणितीय श्रृंखला होगी क्या? जाँच कीजिए। यदि अंकगणितीय श्रृंखला में हो तो 20 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाली ब्याज की रकम ज्ञात कीजिए। इसके लिए नीचे दी गई कृति पूर्ण कीजिए।
साधारण ब्याज = `("P" xx "R" xx "N")/100`
1 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(1000 xx 10 xx 1)/100` = `square`
2 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(1000 xx 10 xx 2)/100` = `square`
3 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला साधारण ब्याज = `(square xx square xx square)/100` = 300
इस प्रकार 4, 5, 6 वर्षों के पश्चात प्राप्त होने वाला ब्याज क्रमश: 400, `square`, `square` होगा।
इस संख्या के आधार पर d = `square`, और a = `square`
20 वर्ष के पश्चात प्राप्त होने वाला ब्याज
tn = a + (n − 1)d
t20 = `square` + (20 − 1) `square`
t20 = `square`
20 वर्ष के पश्चात प्राप्त कुल ब्याज = `square`
किसी नाट्यगृह में कुर्सियों की कुल 27 कतारें हैं। पहली कतार में कुल 20 कुर्सियाँ हैं, दूसरी कतार में 22 कुर्सियाँ तथा तीसरी कतार में कुल 24 कुर्सियाँ हैं तथा आगे भी इस प्रकार हों, तो नाट्यगृह में कुल कितनी कुर्सियाँ होंगी?
किसी त्रिभुज के कोणों के माप अंकगणितीय श्रृंखला में हैं। सबसे छोटे कोण का माप सामान्य अंतर के 5 गुना है। उस त्रिभुज के सभी कोणों के माप ज्ञात करो। (त्रिभुज के कोणों के माप a, a + d, a + 2d लो।)
