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Question
गुणनखंडन द्वारा निम्नलिखित बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा इन बहुपदों के गुणांकों और शून्यकों के बीच के संबंधों को सत्यापित कीजिए:
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Solution
मान लीजिए p(s) = `2s^2 - (1 + 2sqrt(2))s + sqrt(2)`
= `2s^2 - s - 2sqrt(2)s + sqrt(2)`
= `2s - 1 (s - sqrt(2))`
तो, p(s) के शून्यक `1/2` और `sqrt(2)` हैं।
∴ शून्यों का योग = `1/2 + sqrt(2)`
= `(1 + 2sqrt(2))/2`
= `(-[-(1 + 2sqrt(2))])/2`
= `(-("का गुणांक" s))/("का गुणांक" s^2)`
और शून्य का गुणनफल = `1/2 . sqrt(2)`
= `"स्थिर पद"/("का गुणांक" s^2)`
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एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं:
`0, sqrt5`
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं:
1, 1
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। निम्न स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए:
`x^3 - 4x^2 + 5x - 2; 2, 1, 1`
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यदि एक द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के दोनों शून्यक धनात्मक हैं, तो a, b और c में से सभी का समान चिन्ह होता हैं।
यदि एक त्रिघात बहुपद के सभी शून्यक ऋणात्मक हैं, तो इस बहुपद के सभी गुणांक और अचर पद एक ही चिह्न के होते हैं।
यदि एक त्रिघात बहुपद x3 + ax2 − bx + c के तीनों शून्यक धनात्मक हैं, तो a, b और c में से कम से कम एक अवश्य ही ऋणेतर होगा।
निम्नलिखित में बहुपद् ज्ञात कीजिए, जिनके शून्यकों के क्रमशः योग और गुणनफल दिए हुए हैं। साथ ही, गुणनखंडन द्वारा, इन बहुपदों के शून्यक भी ज्ञात कीजिए :
`(-3)/(2sqrt5), -1/2`
दिया है कि त्रिघात बहुपद x3− 6x2 + 3x + 10 के शून्यक a, a + b और a + 2b के रूप के हैं, जहाँ a और b, कोई वास्तविक संख्याएँ हैं। a और b के मान तथा साथ ही दिए हुए बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए।
त्रिघात बहुपद `6x^3 + sqrt2x^2 - 10x - 4sqrt2` का एक शून्यक `sqrt2` दिया है। इसके अन्य दो शून्यक ज्ञात कीजिए।
