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Question
यदि एक त्रिघात बहुपद x3 + ax2 − bx + c के तीनों शून्यक धनात्मक हैं, तो a, b और c में से कम से कम एक अवश्य ही ऋणेतर होगा।
Options
सत्य
असत्य
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Solution
यह कथन सत्य है।
स्पष्टीकरण:
मान लीजिए α, β और γ घन बहुपद x3 + ax2 – bx + c के तीन शून्यक हैं।
फिर, शून्य का गुणनफल = `(-("स्थायी अवधि"))/("का गुणांक" x^3)`
`\implies` αβγ = `c/1`
`\implies` αβγ = `-c` ......(i)
यह देखते हुए, तीनों शून्य धनात्मक हैं।
तो, तीनों शून्यों का गुणनफल भी धनात्मक है।
यानी, αβγ > 0
`\implies` – c > 0 .....[से (i)]
`\implies` c < 0
अब, शून्यों का योग = α + β + γ
= `(-("का गुणांक" x^2))/("का गुणांक" x^3)`
`\implies` α + β + γ = `a/1 = -a`
लेकिन α, β और γ सभी सकारात्मक हैं।
इस प्रकार, उनका योग भी धनात्मक है।
तो, α + β + γ > 0
`\implies` – a > 0
`\implies` a < 0
और एक समय में दो शून्य लेने पर उनके गुणनफल का योग
= `("का गुणांक" x)/("का गुणांक" x^3)`
= `(-b)/1`
`\implies` αβ + βγ + γα = `- b`
∵ αβ + βγ + αγ > 0
`\implies` `-b > 0`
`\implies` b < 0
∴ सभी गुणांक a, b और c ऋणात्मक हैं।
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