Question

यदि x² + ax + b के रूप के एक द्विधात बहुपद् का एक शून्यक दूसरे शून्यक का ऋ्रणात्मक हो, तो ______।

Options

• इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है

• इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद धनात्मक होता है

• इसका रैखिक पद हो सकता है, परंतु अचर पद ऋणात्मक होता है

• इसका रैखिक पद हो सकता है, परंतु अचर पद धनात्मक होता है

Answer 1

यदि x² + ax + b के रूप के एक द्विधात बहुपद् का एक शून्यक दूसरे शून्यक का ऋ्रणात्मक हो, तो इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है। 

स्पष्टीकरण: 

मान लीजिए p(x) = x² + ax + b

रखें a = 0, फिर,

p(x) = x² + b = 0

⇒ x² = – b

⇒ `x = +- sqrt(-b)`  ......[∴ b < 0]

अतः यदि द्विघात बहुपद p(x) का एक शून्यक दूसरे का ऋणात्मक है। 

फिर इसका कोई रैखिक पद नहीं है। 

यानी, a = 0 और अचर पद ऋणात्मक है। 

यानी, b < 0

वैकल्पिक विधि:

मान लीजिए f(x) = x² + ax + b

और दी गई शर्त के अनुसार शून्य क्षेत्र और – α

शून्यों का योग = α – α = a

⇒ a = 0

f(x) = x² + b, जो रैखिक नहीं हो सकता है,

और शून्यों का गुणनफल = α . (– α) = b

⇒ – α² = b

जो तब संभव है जब, b < 0

अत: इसका कोई रैखिक पद नहीं है और अचर पद ऋणात्मक है।