Question

यदि एक त्रिघात बहुपद x³ + ax² − bx + c के तीनों शून्यक धनात्मक हैं, तो a, b और c में से कम से कम एक अवश्य ही ऋणेतर होगा।

विकल्प

• सत्य

• असत्य

Answer 1

यह कथन सत्य है।

स्पष्टीकरण:

मान लीजिए α, β और γ घन बहुपद x³ + ax² – bx + c के तीन शून्यक हैं।

फिर, शून्य का गुणनफल = `(-("स्थायी अवधि"))/("का गुणांक" x^3)`

`\implies` αβγ = `c/1`

`\implies` αβγ = `-c`   ......(i)

यह देखते हुए, तीनों शून्य धनात्मक हैं।

तो, तीनों शून्यों का गुणनफल भी धनात्मक है।

यानी, αβγ > 0

`\implies` – c > 0  .....[से (i)]

`\implies` c < 0

अब, शून्यों का योग = α + β + γ

= `(-("का गुणांक" x^2))/("का गुणांक" x^3)`

`\implies` α + β + γ = `a/1 = -a`

लेकिन α, β और γ सभी सकारात्मक हैं।

इस प्रकार, उनका योग भी धनात्मक है।

तो, α + β + γ > 0

`\implies`  – a > 0

`\implies` a < 0

और एक समय में दो शून्य लेने पर उनके गुणनफल का योग

= `("का गुणांक" x)/("का गुणांक" x^3)`

= `(-b)/1`

`\implies` αβ + βγ + γα = `- b`

∵ αβ + βγ + αγ > 0

`\implies` `-b > 0`

`\implies` b < 0

∴ सभी गुणांक a, b और c ऋणात्मक हैं।