Advertisements
Advertisements
Question
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि ______।
Options
ABCD एक समचतुर्भुज है
ABCD के विकर्ण बराबर हैं
ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं
ABCD के विकर्ण परस्पर लंब हैं
Advertisements
Solution
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं।
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, ABCD एक चतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमश : भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
फिर, PQRS एक वर्ग है।
∴ PQ = QR = RS = PS ...(i)
और PR = SQ
लेकिन PR = BC और SQ = AB
∴ AB = BC
इस प्रकार, चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, चतुर्भुज ABCD या तो एक वर्ग या एक समचतुर्भुज है।
अब, ∆ADB में, मध्य-बिंदु प्रमेय का प्रयोग करें।
SP || DB
और SP = `1/2` DB ...(ii)
इसी प्रकार △ABC में ...(मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा)
PQ || AC और PQ = `1/2` AC ...(iii)
समीकरण (i) से,
PS = PQ
⇒ `1/2` DB = `1/2` AC ...[समीकरण (ii) और (iii) से]
⇒ DB = AC
इस प्रकार, ABCD के विकर्ण बराबर हैं और इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है न कि समचतुर्भुज। इसलिए, चतुर्भुज के विकर्ण भी लंबवत होते हैं।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
आकृति में ∠P तथा ∠S की माप ज्ञात कीजिए यदि `overline("SP")||overline("RQ")` है। (यदि आप m∠R, ज्ञात करने हैं, तो क्या m∠P को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि है?)
एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°, 90° और 75° है। इसका चौथा कोण है
चतुर्भुज PQRS, की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बना चतुर्भुज एक आयत होता है, यदि ______।
एक चतुर्भुज का एक कोण 108° है तथा अन्य तीनों कोण बराबर हैं। तीनों बराबर कोणों में से प्रत्येक को ज्ञात कीजिए।
एक चतुर्भुज की रचना की जा सकती है, यदि उसके चारों कोण और एक भुजा दी हो।
निम्नलिखित आकृति में, किन्हीं दो कोणों के नाम लिखिए जो अधिककोण प्रतीत होते हों।
आकृति के भाग में, दी हुई सूचना का प्रयोग करके समकोण लिखिए -
RT ⊥ ST
आकृति के भाग में, दी हुई सूचना का प्रयोग करके समकोण लिखिए -
AC ⊥ BD
किसी कोण को तीन बराबर भागों में बाँट देने पर उसे समनत्रिभाजित हुआ कहा जाता है। यदि निम्नलिखित आकृति में, ∠BAC = ∠CAD = ∠DAE है, तो ∠BAE के लिए कितने समत्रिभाजक हैं?
कया हम ऐसे दो अधिक कोण प्राप्त कर सकते हैं, जिनका योगि एक संपूर्ण कोण हो? क्यों या क्यों नहीं?
