Advertisements
Advertisements
प्रश्न
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि ______।
विकल्प
ABCD एक समचतुर्भुज है
ABCD के विकर्ण बराबर हैं
ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं
ABCD के विकर्ण परस्पर लंब हैं
Advertisements
उत्तर
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं।
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, ABCD एक चतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमश : भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
फिर, PQRS एक वर्ग है।
∴ PQ = QR = RS = PS ...(i)
और PR = SQ
लेकिन PR = BC और SQ = AB
∴ AB = BC
इस प्रकार, चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, चतुर्भुज ABCD या तो एक वर्ग या एक समचतुर्भुज है।
अब, ∆ADB में, मध्य-बिंदु प्रमेय का प्रयोग करें।
SP || DB
और SP = `1/2` DB ...(ii)
इसी प्रकार △ABC में ...(मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा)
PQ || AC और PQ = `1/2` AC ...(iii)
समीकरण (i) से,
PS = PQ
⇒ `1/2` DB = `1/2` AC ...[समीकरण (ii) और (iii) से]
⇒ DB = AC
इस प्रकार, ABCD के विकर्ण बराबर हैं और इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है न कि समचतुर्भुज। इसलिए, चतुर्भुज के विकर्ण भी लंबवत होते हैं।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बनने वाली आकृति होती है
D और E क्रमश : ∆ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु है तथा O भुजा BC पर कोई बिंदु है। O को A से मिलाया जाता है। यदि P और Q क्रमश : OB और OC के मध्य-बिंदु हैं, तो DEQP है एक ______।
चतुर्भुज ROPE में, आसन्न कोणों के युग्म ______ हैं।
एक समलंब में, सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ______ होता है।
निम्नलिखित आकृति में
∠ AOD एक _____ कोण है।
निम्नलिखित आकृति में अंकित दोनों कोणों में उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या ______ है।
निम्नलिखित आकृति में, किन्हीं चार कोणों के नाम लिखिए जो न्यूनकोण प्रतीत होते हों।
आकृति के भाग में, दी हुई सूचना का प्रयोग करके समकोण लिखिए -
AE ⊥ CE
आकृति के भाग से क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है, यदि DC कोण ADB का समद्विभाजक है, CA ⊥ DA और CB ⊥ DB है?
किसी समांतर चतुर्भुज की परिमिति 150 सेमी है। उसकी एक भुजा दूसरी भुजा से 25 सेमी बड़ी है। तो उस चतुर्भुज की सभी भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।
