Advertisements
Advertisements
प्रश्न
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि ______।
विकल्प
ABCD एक समचतुर्भुज है
ABCD के विकर्ण बराबर हैं
ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं
ABCD के विकर्ण परस्पर लंब हैं
Advertisements
उत्तर
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं।
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, ABCD एक चतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमश : भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
फिर, PQRS एक वर्ग है।
∴ PQ = QR = RS = PS ...(i)
और PR = SQ
लेकिन PR = BC और SQ = AB
∴ AB = BC
इस प्रकार, चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, चतुर्भुज ABCD या तो एक वर्ग या एक समचतुर्भुज है।
अब, ∆ADB में, मध्य-बिंदु प्रमेय का प्रयोग करें।
SP || DB
और SP = `1/2` DB ...(ii)
इसी प्रकार △ABC में ...(मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा)
PQ || AC और PQ = `1/2` AC ...(iii)
समीकरण (i) से,
PS = PQ
⇒ `1/2` DB = `1/2` AC ...[समीकरण (ii) और (iii) से]
⇒ DB = AC
इस प्रकार, ABCD के विकर्ण बराबर हैं और इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है न कि समचतुर्भुज। इसलिए, चतुर्भुज के विकर्ण भी लंबवत होते हैं।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
चतुर्भुज KLMN का एक रफ चित्र खींचिए। बताइए:
आसन्न कोणों के दो युग्म
यदि चतुर्भुज ABCD के कोणों A, B, C और D का, इसी क्रम में लेने पर, अनुपात 3 : 7 : 6 : 4 है, तो ABCD है एक ______।
एक चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर और संपूरक हैं। प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित आकृति में, अधिक कोणों की संख्या है –
यदि दो कोणों का योग 180° से अधिक है, तो दोनों कोणों के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा विकल्प संभव नहीं है –
निम्नलिखित आकृति में
∠COA एक ______ कोण है।
निम्नलिखित आकृति में
∠AOE एक ______ कोण है।
निम्नलिखित आकृति में ∠BAC और ∠DAB में उभयनिष्ठ भाग ______ है।
निम्नलिखित आकृति में, BD – BE क्या है?
किसी कोण को तीन बराबर भागों में बाँट देने पर उसे समनत्रिभाजित हुआ कहा जाता है। यदि निम्नलिखित आकृति में, ∠BAC = ∠CAD = ∠DAE है, तो ∠BAE के लिए कितने समत्रिभाजक हैं?
