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प्रश्न
D और E क्रमश : ∆ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु है तथा O भुजा BC पर कोई बिंदु है। O को A से मिलाया जाता है। यदि P और Q क्रमश : OB और OC के मध्य-बिंदु हैं, तो DEQP है एक ______।
विकल्प
वर्ग
आयत
समचतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज
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उत्तर
D और E क्रमश : ∆ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु है तथा O भुजा BC पर कोई बिंदु है। O को A से मिलाया जाता है। यदि P और Q क्रमश : OB और OC के मध्य-बिंदु हैं, तो DEQP है एक समांतर चतुर्भुज।
स्पष्टीकरण -
ΔABC में, D और E क्रमश : AB और AC भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,
DE || BC ...(i)
DE = `1/2` BC
फिर, DE = `1/2` [BP + PO + OQ + QC]
DE = `1/2` [2PO + 2OQ] ...[चूंकि, P और Q क्रमश : OB और OC के मध्य-बिंदु हैं।]
⇒ DE = PO + OQ
⇒ DE = PQ
अब, ΔAOC में, Q और E क्रमश : OC और AC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ EQ || AO और EQ = `1/2` AO [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(iii)
इसी प्रकार, ΔABO में,
PD || AO और PD = `1/2` AO [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(iv)
समीकरण (iii) और (iv) से,
EQ || PD और EQ = PD
समीकरण (i) और (ii) से,
DE || BC (या DE || PQ) और DE = PQ
अतः, DEQP एक समांतर चतुर्भुज है।
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