Question

D और E क्रमश : ∆ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु है तथा O भुजा BC पर कोई बिंदु है। O को A से मिलाया जाता है। यदि P और Q क्रमश : OB और OC के मध्य-बिंदु हैं, तो DEQP है एक ______।

Options

• वर्ग

• आयत

• समचतुर्भुज

• समांतर चतुर्भुज

Answer 1

D और E क्रमश : ∆ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु है तथा O भुजा BC पर कोई बिंदु है। O को A से मिलाया जाता है। यदि P और Q क्रमश : OB और OC के मध्य-बिंदु हैं, तो DEQP है एक समांतर चतुर्भुज।

स्पष्टीकरण -

ΔABC में, D और E क्रमश : AB और AC भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं।

मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,

DE || BC  ...(i)

DE = `1/2` BC

फिर, DE = `1/2` [BP + PO + OQ + QC]

DE = `1/2` [2PO + 2OQ]  ...[चूंकि, P और Q क्रमश : OB और OC के मध्य-बिंदु हैं।]

⇒ DE = PO + OQ

⇒ DE = PQ

अब, ΔAOC में, Q और E क्रमश : OC और AC के मध्य-बिंदु हैं।

∴ EQ || AO और EQ = `1/2` AO  [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]  ...(iii)

इसी प्रकार, ΔABO में,

PD || AO और PD = `1/2` AO [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]  ...(iv)

समीकरण (iii) और (iv) से,

EQ || PD और EQ = PD

समीकरण (i) और (ii) से,

 DE || BC (या DE || PQ) और DE = PQ

अतः, DEQP एक समांतर चतुर्भुज है।