Advertisements
Advertisements
प्रश्न
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि ______।
पर्याय
ABCD एक समचतुर्भुज है
ABCD के विकर्ण बराबर हैं
ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं
ABCD के विकर्ण परस्पर लंब हैं
Advertisements
उत्तर
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं।
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, ABCD एक चतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमश : भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
फिर, PQRS एक वर्ग है।
∴ PQ = QR = RS = PS ...(i)
और PR = SQ
लेकिन PR = BC और SQ = AB
∴ AB = BC
इस प्रकार, चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, चतुर्भुज ABCD या तो एक वर्ग या एक समचतुर्भुज है।
अब, ∆ADB में, मध्य-बिंदु प्रमेय का प्रयोग करें।
SP || DB
और SP = `1/2` DB ...(ii)
इसी प्रकार △ABC में ...(मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा)
PQ || AC और PQ = `1/2` AC ...(iii)
समीकरण (i) से,
PS = PQ
⇒ `1/2` DB = `1/2` AC ...[समीकरण (ii) और (iii) से]
⇒ DB = AC
इस प्रकार, ABCD के विकर्ण बराबर हैं और इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है न कि समचतुर्भुज। इसलिए, चतुर्भुज के विकर्ण भी लंबवत होते हैं।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
खोज कीजिए:
पट्टियाँ और उन्हें बाँधने की वस्तुएँ लेकर एक त्रिभुज बनाइए और एक त्रिभुज बनाइए। त्रिभुज के किसी एक शीर्ष पर पट्टियों को अंदर की ओर दबाने का प्रयत्न कीजिए। यही कार्य चतुर्भुज के लिए भी कीजिए। क्या त्रिभुज में कोई परिवर्तन आया? क्या चतुर्भुज में कोई परिवर्तन हुआ? क्या त्रिभुज एक दृढ़ (rigid) आकृति है? क्या कारण है कि विद्युत टावरों (Electric towers) जैसी संरचनाओं में त्रिभुज आकारों का प्रयोग किया जाता है, चतुर्भुजीय आकारों का नहीं?
यदि चतुर्भुज ABCD के कोणों A, B, C और D का, इसी क्रम में लेने पर, अनुपात 3 : 7 : 6 : 4 है, तो ABCD है एक ______।
एक चतुर्भुज का एक कोण 108° है तथा अन्य तीनों कोण बराबर हैं। तीनों बराबर कोणों में से प्रत्येक को ज्ञात कीजिए।
चतुर्भुज HOPE में, सम्मुख भुजाओं के युग्म _______ हैं।
चतुर्भुज WXYZ में, सम्मुख कोणों के युग्म ______ हैं।
एक चतुर्भुज NEWS की रचना कीजिए, जिसमें NE = 7 cm, EW = 6 cm, ∠N = 60∘, ∠E = 110∘ और ∠S = 85∘ है।
निम्नलिखित आकृति में
∠ AOD एक _____ कोण है।
निम्नलिखित आकृति में, किन्हीं दो कोणों के नाम लिखिए जो अधिककोण प्रतीत होते हों।
आकृति के भाग से क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है, यदि DB कोण ADC का समद्धिभाजक है?
कया हम ऐसे दो अधिक कोण प्राप्त कर सकते हैं, जिनका योग एक प्रतिवर्ती कोण हो? क्यों या क्यों नहीं?
