Question

बिना वास्तविक विभाजन के सिद्ध कीजिए कि x² – 3x + 2 से 2x⁴ – 5x³ + 2x² – x + 2 विभाज्य है। [संकेत: x² – 3x + 2 के गुणनखंड कीजिए]

Answer 1

मान लीजिए p(x) = 2x⁴ – 5x³ + 2x² – x + 2 सर्वप्रथम, x² – 3x + 2 के गुणनखंड कीजिए।

अब, x² – 3x + 2 = x² – 2x – x + 2  ...[मध्य पद को विभाजित करके]

= x(x – 2) – 1(x – 2) = (x – 1)(x – 2)

अत:, x² – 3x + 2 का 0 = 1 और 2 है।

हमें सिद्ध करना है कि,  2x⁴ – 5x³ + 2x² – x + 2, x² – 3x + 2 से विभाज्य है, अर्थात् हमें सिद्ध करना है कि p(1) = 0 और p(2) = 0

अब, p(1) = 2(1)⁴ – 5(1)³ + 2(1)² – 1 + 2

= 2 – 5 + 2 – 1 + 2

= 6 – 6

= 0

और p(2) = 2(2)⁴ – 5(2)³ + 2(2)² – 2 + 2

= 2x¹⁶ – 5x⁸ + 2x⁴ + 0

= 32 – 40 + 8

= 40 – 40

= 0

अत:, p(x),  x² – 3x + 2 से विभाज्य है।