Question

ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है तथा ∠C का समद्विभाजक भुजा AB को D पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AC + AD = BC है। 

Answer 1

दिया गया है - समकोण ∆ABC में, AB = AC और CD, ∠C का समद्विभाजक है।

रचना - DE ⊥ BC खींचिए।

सिद्ध करना है - AC + AD = BC

उपपत्ति - समकोण △ABC में, AB = AC और BC एक काल्पनिक है।  ...[दिया गया है।]

∴ ∠A = 90°

ΔDAC और ΔDEC में, ∠A = ∠3 = 90°

∠1 = ∠2   ...[दिया गया है, CD, ∠C का समद्विभाजक है।]

DC = DC   ...[सामान्य पक्ष]

∴ ΔDAC ≅ ΔDEC   ...[AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

⇒ DA = DE   [CPCT द्वारा] ...(i)

और AC = EC  ...(ii)

ΔABC में AB = AC है।

∠C = ∠B  [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]  ...(iii)

पुनः, ∠ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ...[कोणों द्वारा त्रिभुज के गुणों का योग]

⇒ 90° + ∠B + ∠B = 180°   ...[समीकरण (iii) से]

⇒ 2∠B = 180° – 90°

⇒ 2∠B = 90°

⇒ ∠B = 45°

∠BED में, ∠5 = 180° – (∠B + ∠4)  ...[त्रिभुज के कोण योग गुण द्वारा]

= 180° – (45° + 90°)

= 180° – 135°

= 45°

∴ ∠B = ∠5

⇒ DE = BE  [∵ बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]  ...(iv)

समीकरण (i) और (iv) से,

DA = DE = BE  ...(v)

∵ BC = CE + EB

= CA + DA   ...[समीकरण (ii) और (v) से]]

∴ AD + AC = BC  

अतः सिद्ध हुआ।