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Question
दर्शाइए कि एक चतुर्भुज ABCD में, AB + BC + CD + DA > AC + BD होता है।
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Solution
प्रश्न में दिया गया - एक चतुर्भुज ABCD है।
सिद्ध करना है कि AB + BC + CD + DA > AC + BD
प्रमाण - त्रिभुज ABC में,
AB + BC > AC ...(i) [त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
त्रिभुज BCD में,
BC + CD > BD ...(ii) [त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए]
त्रिकोण CDA में,
CD + DA > AC ...(iii) [त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
इसी प्रकार, त्रिभुज DAB में,
AD + AB > BD ...(iv) [त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए]
अब, समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) जोड़ने पर, हम पाते हैं।
AB + BC + BC + CD + CD + DA + AD + AB > AC + BD + AC + BD
2AB + 2BC + 2CD > 2AC + 2BD
2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)
AB + BC + CD + DA > AC + BD
अतः सिद्ध हुआ।
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