Advertisements
Advertisements
प्रश्न
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है तथा ∠C का समद्विभाजक भुजा AB को D पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AC + AD = BC है।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है - समकोण ∆ABC में, AB = AC और CD, ∠C का समद्विभाजक है।
रचना - DE ⊥ BC खींचिए।
सिद्ध करना है - AC + AD = BC
उपपत्ति - समकोण △ABC में, AB = AC और BC एक काल्पनिक है। ...[दिया गया है।]
∴ ∠A = 90°
ΔDAC और ΔDEC में, ∠A = ∠3 = 90°
∠1 = ∠2 ...[दिया गया है, CD, ∠C का समद्विभाजक है।]
DC = DC ...[सामान्य पक्ष]
∴ ΔDAC ≅ ΔDEC ...[AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
⇒ DA = DE [CPCT द्वारा] ...(i)
और AC = EC ...(ii)
ΔABC में AB = AC है।
∠C = ∠B [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।] ...(iii)
पुनः, ∠ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ...[कोणों द्वारा त्रिभुज के गुणों का योग]
⇒ 90° + ∠B + ∠B = 180° ...[समीकरण (iii) से]
⇒ 2∠B = 180° – 90°
⇒ 2∠B = 90°
⇒ ∠B = 45°
∠BED में, ∠5 = 180° – (∠B + ∠4) ...[त्रिभुज के कोण योग गुण द्वारा]
= 180° – (45° + 90°)
= 180° – 135°
= 45°
∴ ∠B = ∠5
⇒ DE = BE [∵ बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।] ...(iv)
समीकरण (i) और (iv) से,
DA = DE = BE ...(v)
∵ BC = CE + EB
= CA + DA ...[समीकरण (ii) और (v) से]]
∴ AD + AC = BC
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लंब हैं। (देखिए आकृति) दर्शाइए कि:
- △APB ≌ △AQB
- BP = BQ है, अर्थात् बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।
AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है। D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि:
- △DAP ≌ △EBP
- AD = BE
AD किसी त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है। क्या यह कहना सत्य है कि AB + BC + CA > 2AD है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
क्या भुजाओं की लंबाइयाँ 9 cm, 7 cm और 17 cm लेकर किसी त्रिभुज की रचना की जा सकती है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
∆PQR की भुजा QR पर S कोई बिंदु स्थित है। दर्शाइए कि PQ + QR + RP > 2PS है।
निम्नलिखित आकृति में, AD कोण BAC का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि AB > BD है।
एक समतल दर्पण LM के सम्मुख स्थित बिंदु A पर रखी किसी वस्तु का प्रतिबिम्ब एक प्रेक्षक D से बिंदु B पर देखता है, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दर्शाया गया है। सिद्ध कीजिए कि यह प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर है जितनी दूरी पर वह वस्तु दर्पण के सम्मुख है।
[संकेत : CN दर्पण पर अभिलंब है। साथ ही, आपतन कोण = परावर्तन कोण।]
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AB = BC और AD = CD है। दर्शाइए कि BD दोनों कोणों ABC और ADC को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा की संगत माध्यिका के दोगुने से बड़ा होता हैं।
एक त्रिभुज ABC में, D भुजा AC का मध्य-बिंदु है ताकि BD = `1/2` AC है। दर्शाइए कि ∠ABC एक समकोण है।
