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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा की संगत माध्यिका के दोगुने से बड़ा होता हैं।
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उत्तर
दिया गया है - त्रिभुज ABC में माध्यिका AD के साथ,
उपपत्ति के लिए - AB + AC > 2AD
AB + BC > 2AD
BC + AC > 2AD
AD को E में इस प्रकार बढ़ाइए कि DE = AD और EC को मिलाइए।
उपपत्ति - त्रिभुज ADB और त्रिभुज EDC में,
AD = ED ...[रचना द्वारा]
∠1 = ∠2 ...[शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।]
DB = DC ...[दिया गया है।]
इसलिए, सर्वांगसमता की SAS कसौटी से,
ΔADB ≅ ΔEDC
AB = EC ...[CPCT]
और ∠3 = ∠4 ...[CPCT]
पुनः, त्रिभुज AEC में,
AC + CE > AE ...[त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
AC + CE > AD + DE
AC + CE > AD + AD ...[AD = DE]
AC + CE > 2AD
AC + AB > 2AD ...[क्योंकि AB = CE]
अतः सिद्ध हुआ।
इसी प्रकार, AB + BC > 2AD और BC + AC > 2AD।
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संबंधित प्रश्न
AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि:
- AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
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∆ABD और ∆ACD में,
AB = AC (दिया है)
∠B = ∠C (क्योंकि AB = AC)
तथा ∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
अतः, ∆ABD ≅ ∆ACD (AAS)
इसलिए, ∠BAD = ∠CAD (CPCT)
उपरोक्त तर्कणों में क्या कमी है?
[संकेत : याद कीजिए कि जब AB = AC हो, तो ∠B = ∠C को कैसे सिद्ध किया जाता है।]
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