Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दर्शाइए कि एक चतुर्भुज ABCD में, AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC) होता है।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है - ABCD एक चतुर्भुज है।
दिखाने के लिए - AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)
रचना - विकर्ण AC और BD को मिलाइए।
उपपत्ति - ΔOAB में, OA + OB > AB ...(i) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
∆OBC में, OB + OC > BC ...(ii) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]
ΔOCD में, OC + OD > CD ...(iii) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]
ΔODA में, OD + OA > DA ...(iv) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]
समीकरणों (i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
2[(OA + OB + OC + OD] > AB + BC + CD + DA
⇒ 2[(OA + OC) + (OB + OD)] > AB + BC + CD + DA
⇒ 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA ...[∵ OA + OC = AC और OB + OD = BD]
⇒ AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लंब हैं। (देखिए आकृति) दर्शाइए कि:
- △APB ≌ △AQB
- BP = BQ है, अर्थात् बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।
आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइए कि BC = DE है।
∆PQR में, ∠P = 70° और ∠R = 30° है। इस त्रिभुज की कौन-सी भुजा सबसे लंबी है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों B और C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ∠ABC के आसन्न एक बहिष्कोण ∠BOC के बराबर हैं।
निम्नलिखित आकृति में, AD कोण BAC का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि AB > BD है।
एक समतल दर्पण LM के सम्मुख स्थित बिंदु A पर रखी किसी वस्तु का प्रतिबिम्ब एक प्रेक्षक D से बिंदु B पर देखता है, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दर्शाया गया है। सिद्ध कीजिए कि यह प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर है जितनी दूरी पर वह वस्तु दर्पण के सम्मुख है।
[संकेत : CN दर्पण पर अभिलंब है। साथ ही, आपतन कोण = परावर्तन कोण।]
ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि बिंदु A और D आधार BC के विपरीत ओर स्थित हैं, AB = AC और DB = DC है। दर्शाइए कि AD रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है।
एक समकोण त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि कर्ण के मध्य-बिंदु को उसके सम्मुख शीर्ष से मिलाने वाला रेखाखंड कर्ण का आधा होता है।
दो रेखाएँ l और m बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं तथा P बिंदु O से होकर जाने वाली रेखा n पर स्थित कोई बिंदु इस प्रकार है कि P रेखाओं l और m से समदूरस्थ है। सिद्ध कीजिए कि n रेखाओं l और m के बीच बनने वाले कोण का समद्विभाजक है।
