Question

दर्शाइए कि एक चतुर्भुज ABCD में, AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC) होता है।

Answer 1

दिया गया है -  ABCD एक चतुर्भुज है।

दिखाने के लिए - AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)

रचना - विकर्ण AC और BD को मिलाइए।

उपपत्ति - ΔOAB में, OA + OB > AB  ...(i) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।

∆OBC में, OB + OC > BC  ...(ii) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]

ΔOCD में, OC + OD > CD  ...(iii) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]

ΔODA में, OD + OA > DA   ...(iv) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]

समीकरणों (i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।

2[(OA + OB + OC + OD] > AB + BC + CD + DA

⇒ 2[(OA + OC) + (OB + OD)] > AB + BC + CD + DA

⇒ 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA  ...[∵ OA + OC = AC और OB + OD = BD]

⇒ AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)