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प्रश्न
△ABC और △DBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि:
- △ABD ≌ △ACD
- △ABP ≌ △ACP
- AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
- AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
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उत्तर
(i) ΔABD और ΔACD में,
AB = AC ...(दिया गया है)
BD = CD ...(दिया गया है)
AD = AD ..(उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔACD ...(SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
⇒ ∠BAD = ∠CAD ...(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा)
⇒ ∠BAP = ∠CAP …(1)
(ii) ΔABP और ΔACP में,
AB = AC ...(दिया गया है)
∠BAP = ∠CAP ...[समीकरण (1) से]
AP = AP ...(उभयनिष्ठ)
∴ ΔABP ≅ ΔACP ...(SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
⇒ BP = CP ...(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा) …(2)
(iii) समीकरण (1) से,
∠BAP = ∠CAP
अतः AP, ∠A को समद्विभाजित करता है।
ΔBDP और ΔCDP में,
BD = CD ...(दिया गया है)
DP = DP ...(उभयनिष्ठ)
BP = CP ...[समीकरण (2) से]
∴ ΔBDP ≅ ΔCDP ...(SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
⇒ ∠BDP = ∠CDP ...(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा) …(3)
अतः AP, ∠D को समद्विभाजित करता है।
(iv) ΔBDP ≅ ΔCDP
∴ ∠BPD = ∠CPD ...(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा) …(4)
∠BPD + ∠CPD = 180° ...(रैखिक युग्म कोण)
∠BPD + ∠BPD = 180°
2∠BPD = 180° ...[समीकरण (4) से]
∠BPD = 90° …(5)
समीकरण (2) और (5) से यह कहा जा सकता है कि AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है।
संबंधित प्रश्न
l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि: △ABC ≌ △CDA है।
AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि:
- AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
- AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
- ∆ABM ≅ ∆PQN
- ∆ABC ≅ ∆PQR
“यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ और एक कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और एक कोण के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज अवश्य ही सर्वांगसम होने चाहिए।” क्या यह कथन सत्य है? क्यों?
क्या भुजाओं की लंबाइयाँ 8 cm, 7 cm और 4 cm लेकर किसी त्रिभुज की रचना की जा सकती है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों B और C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ∠ABC के आसन्न एक बहिष्कोण ∠BOC के बराबर हैं।
AB = AC वाला ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है तथा D भुजा BC पर इस प्रकार स्थित है कि AD ⊥ BC है। (आकृति)। ∠BAD = ∠CAD सिद्ध करने के लिए, किसी विद्यार्थी ने निम्नलिखित प्रक्रिया अपनाई :
∆ABD और ∆ACD में,
AB = AC (दिया है)
∠B = ∠C (क्योंकि AB = AC)
तथा ∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
अतः, ∆ABD ≅ ∆ACD (AAS)
इसलिए, ∠BAD = ∠CAD (CPCT)
उपरोक्त तर्कणों में क्या कमी है?
[संकेत : याद कीजिए कि जब AB = AC हो, तो ∠B = ∠C को कैसे सिद्ध किया जाता है।]
O एक वर्ग ABCD के अभ्यंतर में स्थित बिंदु इस प्रकार है कि OAB एक समबाहु त्रिभुज है। सिद्ध कीजिए कि ∆OCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AB = AD और CB = CD है। सिद्ध कीजिए कि AC, BD का लंब समद्विभाजक है।
