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प्रश्न
दर्शाइए कि एक चतुर्भुज ABCD में, AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC) होता है।
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उत्तर
दिया गया है - ABCD एक चतुर्भुज है।
दिखाने के लिए - AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)
रचना - विकर्ण AC और BD को मिलाइए।
उपपत्ति - ΔOAB में, OA + OB > AB ...(i) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
∆OBC में, OB + OC > BC ...(ii) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]
ΔOCD में, OC + OD > CD ...(iii) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]
ΔODA में, OD + OA > DA ...(iv) [त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।]
समीकरणों (i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
2[(OA + OB + OC + OD] > AB + BC + CD + DA
⇒ 2[(OA + OC) + (OB + OD)] > AB + BC + CD + DA
⇒ 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA ...[∵ OA + OC = AC और OB + OD = BD]
⇒ AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)
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