Question

एक समतल दर्पण LM के सम्मुख स्थित बिंदु A पर रखी किसी वस्तु का प्रतिबिम्ब एक प्रेक्षक D से बिंदु B पर देखता है, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दर्शाया गया है। सिद्ध कीजिए कि यह प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर है जितनी दूरी पर वह वस्तु दर्पण के सम्मुख है।

[संकेत : CN दर्पण पर अभिलंब है। साथ ही, आपतन कोण = परावर्तन कोण।]

Answer 1

दिया गया है - एक बिंदु OA को बिंदु A पर रखा गया है, LM एक समतल दर्पण है, D एक प्रेक्षक है और OB प्रतिबिम्ब है।

सिद्ध करना है - प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर बनता है जितनी कि वस्तु दर्पण के सामने होती है अर्थात् OB = OA।

प्रमाण - CN ⊥ LM और AB ⊥ LM

⇒ AB || CN

∠A = ∠i  [वैकल्पिक आंतरिक कोण] ...(i)

∠B = ∠r  [संगत कोण] ...(ii)

साथ ही, ∠i = ∠r  [∵ आपतन कोण = परावर्तित कोण]  ...(iii)

समीकरण (i), (ii) और (iii) से,

∠A = ∠B

ΔCOB और ΔCOA में,

∠B = ∠A  ...[ऊपर सिद्ध]

∠1 = ∠2   ...[प्रत्येक 90°]

और CO = CO  ...[सामान्य पक्ष]

∴ ΔCOB ≅ ΔCOA   ...[AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

⇒ OB = OA   ...[CPCT द्वारा]

अतः सिद्ध हुआ।

Answer 2

ΔOBC और ΔOAC में,

∠1 = ∠2  ...[प्रत्येक 90°]

साथ ही, ∠i = ∠r  [∵ आपतन कोण = परावर्तन कोण]  ...(i)

समीकरण के दोनों पक्षों (i) को –1 से गुणा करने पर और फिर दोनों पक्षों में 90° जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं।

90° – ∠i = 90° – ∠r 

⇒ ∠ACO = ∠BCO

और OC = OC  ...[सामान्य पक्ष]

∴ ΔOBC ≅ ΔOAC   ...[ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा]

⇒ OB = OA   ...[CPCT द्वारा]

अतः, प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर बनता है जितनी कि वस्तु दर्पण के सामने होती है।