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प्रश्न
ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि बिंदु A और D आधार BC के विपरीत ओर स्थित हैं, AB = AC और DB = DC है। दर्शाइए कि AD रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है।
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उत्तर
प्रश्न में दिया गया है, ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D, BC के विपरीत भुजाओं पर स्थित हैं, AB = AC और DB = DC है।
यह सिद्ध करने के लिए कि AD, BC का लम्ब समद्विभाजक है, अर्थात OB = OC है।
उपपत्ति - त्रिभुज BAD और त्रिभुज CAD में,
AB = AC ...[दिया गया है।]
BD = CD ...[दिया गया है।]
AD = AD ...[सामान्य पक्ष]
अब, सर्वांगसमता की SSS कसौटी से,
ΔBAD ≅ ΔCAD
इसलिए, ∠1 = ∠2 ...[CPCT]
अब, त्रिभुज BAO और त्रिभुज CAO में,
AB = AC ...[दिया गया है।]
∠1 = ∠2 ...[ऊपर सिद्ध]
AO = AO ...[सामान्य पक्ष]
इसलिए, सर्वांगसमता की SAS कसौटी से,
ΔBAO ≅ ΔCAO
चूंकि, BO = CO ...[CPCT]
और ∠3 = ∠4 ...[CPCT]
∠3 + ∠4 = 180° ...[रैखिक युग्म अभिगृहीत]
∠3 + ∠3 = 180°
2∠3 = 180°
∠3 = `(180^circ)/2`
∠3 = 90°
इसलिए, AD, BC के समद्विभाजक के लंबवत है।
अतः सिद्ध हुआ।
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