Question

ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि बिंदु A और D आधार BC के विपरीत ओर स्थित हैं, AB = AC और DB = DC है। दर्शाइए कि AD रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है। 

Answer 1

प्रश्न में दिया गया है, ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D, BC के विपरीत भुजाओं पर स्थित हैं, AB = AC और DB = DC है।

यह सिद्ध करने के लिए कि AD, BC का लम्ब समद्विभाजक है, अर्थात OB = OC है।

उपपत्ति - त्रिभुज BAD और त्रिभुज CAD में,

AB = AC  ...[दिया गया है।]

BD = CD  ...[दिया गया है।]

AD = AD   ...[सामान्य पक्ष]

अब, सर्वांगसमता की SSS कसौटी से,

ΔBAD ≅ ΔCAD

इसलिए, ∠1 = ∠2   ...[CPCT]

अब, त्रिभुज BAO और त्रिभुज CAO में,

AB = AC   ...[दिया गया है।]

∠1 = ∠2   ...[ऊपर सिद्ध]

AO = AO   ...[सामान्य पक्ष]

इसलिए, सर्वांगसमता की SAS कसौटी से,

ΔBAO ≅ ΔCAO

चूंकि, BO = CO  ...[CPCT]

और ∠3 = ∠4  ...[CPCT]

∠3 + ∠4 = 180°   ...[रैखिक युग्म अभिगृहीत]

∠3 + ∠3 = 180°

2∠3 = 180°

∠3 = `(180^circ)/2`

∠3 = 90°

इसलिए, AD, BC के समद्विभाजक के लंबवत है।

अतः सिद्ध हुआ।