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प्रश्न
दो रेखाएँ l और m बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं तथा P बिंदु O से होकर जाने वाली रेखा n पर स्थित कोई बिंदु इस प्रकार है कि P रेखाओं l और m से समदूरस्थ है। सिद्ध कीजिए कि n रेखाओं l और m के बीच बनने वाले कोण का समद्विभाजक है।
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उत्तर
दिया गया है - दो रेखाएँ l और m बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं और O से होकर जाने वाली रेखा n पर एक बिंदु P इस प्रकार है कि P, l और m से समदूरस्थ है, अर्थात, PQ = PR।
सिद्ध करना है - n, l और m द्वारा बने कोण का समद्विभाजक है अर्थात n, ∠QOR का समद्विभाजक है।
प्रमाण - ΔOQP और ΔORP में,
∠PQO = ∠PRO = 90° ...[चूँकि, P, l और m से समान दूरी पर है, इसलिए PQ और PR क्रमशः l और m रेखाओं के लंबवत होने चाहिए]
OP = OP ...[उभयनिष्ठ पक्ष]
PQ = PR ...[दिया गया है।]
∴ ΔOQP ≅ ΔORP ...[RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
⇒ ∠POQ = ∠POR ...[CPCT द्वारा]
अतः, n, ∠QOR का समद्विभाजक है।
अतः सिद्ध हुआ।
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