Question

दो रेखाएँ l और m बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं तथा P बिंदु O से होकर जाने वाली रेखा n पर स्थित कोई बिंदु इस प्रकार है कि P रेखाओं l और m से समदूरस्थ है। सिद्ध कीजिए कि n रेखाओं l और m के बीच बनने वाले कोण का समद्विभाजक है।

Answer 1

दिया गया है - दो रेखाएँ l और m बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं और O से होकर जाने वाली रेखा n पर एक बिंदु P इस प्रकार है कि P, l और m से समदूरस्थ है, अर्थात, PQ = PR।

सिद्ध करना है - n, l और m द्वारा बने कोण का समद्विभाजक है अर्थात n, ∠QOR का समद्विभाजक है।

प्रमाण - ΔOQP और ΔORP में,

∠PQO = ∠PRO = 90°  ...[चूँकि, P, l और m से समान दूरी पर है, इसलिए PQ और PR क्रमशः l और m रेखाओं के लंबवत होने चाहिए]

OP = OP   ...[उभयनिष्ठ पक्ष]

PQ = PR   ...[दिया गया है।]

∴ ΔOQP ≅ ΔORP   ...[RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

⇒ ∠POQ = ∠POR   ...[CPCT द्वारा]

अतः, n, ∠QOR का समद्विभाजक है।

अतः सिद्ध हुआ।