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प्रश्न
एक समकोण त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि कर्ण के मध्य-बिंदु को उसके सम्मुख शीर्ष से मिलाने वाला रेखाखंड कर्ण का आधा होता है।
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उत्तर
दिया गया है - ΔABC में, ∠B = 90° और D, AC का मध्य-बिंदु है।
रचना - BD को E तक इस प्रकार बढ़ाइए कि BD = DE और EC को मिला दे।
सिद्ध करना है - BD = `1/2` AC
प्रमाण - ΔADB और ΔCDE में,
AD = DC ...[∵ D, AC का मध्य-बिंदु है।]
BD = DE ...[रचना द्वारा]
और ∠ADB = ∠CDE ...[शीर्षाभिमुख कोण]
∴ ΔADB ≅ ΔCDE ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
⇒ AB = EC ...[CPCT द्वारा]
और ∠BAD = ∠DCE ...[CPCT द्वारा]
लेकिन ∠BAD और ∠DCE एकांतर कोण हैं।
तो, EC || AB और BC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠ABC + ∠BCE = 180° ...[आंतरिक कोण]
⇒ 90° + ∠BCE = 180° ...[∵ ∠ABC = 90°, दिया गया है।]
⇒ ∠BCE = 180° – 90°
⇒ ∠BCE = 90°
ΔABC और ΔECB में,
AB = EC ...[ऊपर सिद्ध किया गया]
BC = CB ...[उभयनिष्ठ पक्ष]
और ∠ABC = ∠ECB ...[प्रत्येक 90°]
∴ ΔABC ≅ ΔECB ...[SAS सर्वांगसम नियम द्वारा]
⇒ AC = EB ...[CPCT द्वारा]
⇒ `1/2` EB = `1/2` AC ...[दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर]
⇒ BD = `1/2` AC
अतः सिद्ध हुआ।
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