Question

O एक वर्ग ABCD के अभ्यंतर में स्थित बिंदु इस प्रकार है कि OAB एक समबाहु त्रिभुज है। सिद्ध कीजिए कि ∆OCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है। 

Answer 1

दिया गया है - वर्ग ABCD के अभ्यंतर में O एक बिंदु इस प्रकार है कि ΔOAB एक समबाहु त्रिभुज है।

रचना - OC और OD को मिलाइए।

दर्शाना है - ΔOCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

उपपत्ति - चूँकि, AOB एक समबाहु त्रिभुज है।

∴ ∠OAB = ∠OBA = 60°  ...(i)

साथ ही, ∠DAB = ∠CBA = 90°  ...(ii) [वर्ग का प्रत्येक कोण 90° है] [∵ ABCD एक वर्ग है।]

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाने पर, हम पाते हैं।

∠DAB – ∠OAB = ∠CBA – ∠OBA = 90° – 60°

यानी ∠DAO = ∠CBO = 30°

ΔAOD और ΔBOC में,

AO = BO  ...[दिया गया है।] [समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।]

∠DAO = ∠CBO  ...[ऊपर सिद्ध]

और AD = BC   ...[एक वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं।]

∴ ΔAOD ≅ ΔBOC  ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

अत:, OD = OC  ...[CPCT द्वारा]

ΔCOD में,

OC = OD

अत:, ΔCOD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

अतः सिद्ध हुआ।