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प्रश्न
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AB = AD और CB = CD है। सिद्ध कीजिए कि AC, BD का लंब समद्विभाजक है।
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उत्तर
दिया गया है - चतुर्भुज ABCD में, AB = AD और CB = CD है।
रचना - AC और BD को मिलाइए।
सिद्ध करना है - AC, BD का लम्ब समद्विभाजक है।
प्रमाण - ΔABC और ΔADC में,
AB = AD ...[दिया गया है।]
BC = CD ...[दिया गया है।]
और AC = AC ...[उभयनिष्ठ पक्ष]
∴ ΔABC ≅ ΔADC ...[SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
⇒ ∠1 = ∠2 ...[CPCT द्वारा]
अब, ∆AOB और ΔAOD में,
AB = AD ...[दिया गया है।]
⇒ ∠1 = ∠2 ...[ऊपर सिद्ध]
और AO = AO ...[उभयनिष्ठ पक्ष]
∴ ΔAOB ≅ ΔAOD ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
⇒ BO = DO ...[CPCT द्वारा]
और ∠3 = ∠4 [CPCT द्वारा] ...(i)
लेकिन ∠3 + ∠4 = 180° ...[रैखिक युग्म अभिगृहीत]
∠3 + ∠3 = 180° ...[समीकरण (i) से]
⇒ 2∠3 = 180°
⇒ ∠3 = `(180^circ)/2`
∴ ∠3 = 90°
अर्थात्, AC, BD का लम्ब समद्विभाजक है।
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AB = AC (दिया है)
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