Advertisements
Advertisements
प्रश्न
एक समकोण त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि कर्ण के मध्य-बिंदु को उसके सम्मुख शीर्ष से मिलाने वाला रेखाखंड कर्ण का आधा होता है।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है - ΔABC में, ∠B = 90° और D, AC का मध्य-बिंदु है।
रचना - BD को E तक इस प्रकार बढ़ाइए कि BD = DE और EC को मिला दे।
सिद्ध करना है - BD = `1/2` AC
प्रमाण - ΔADB और ΔCDE में,
AD = DC ...[∵ D, AC का मध्य-बिंदु है।]
BD = DE ...[रचना द्वारा]
और ∠ADB = ∠CDE ...[शीर्षाभिमुख कोण]
∴ ΔADB ≅ ΔCDE ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
⇒ AB = EC ...[CPCT द्वारा]
और ∠BAD = ∠DCE ...[CPCT द्वारा]
लेकिन ∠BAD और ∠DCE एकांतर कोण हैं।
तो, EC || AB और BC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠ABC + ∠BCE = 180° ...[आंतरिक कोण]
⇒ 90° + ∠BCE = 180° ...[∵ ∠ABC = 90°, दिया गया है।]
⇒ ∠BCE = 180° – 90°
⇒ ∠BCE = 90°
ΔABC और ΔECB में,
AB = EC ...[ऊपर सिद्ध किया गया]
BC = CB ...[उभयनिष्ठ पक्ष]
और ∠ABC = ∠ECB ...[प्रत्येक 90°]
∴ ΔABC ≅ ΔECB ...[SAS सर्वांगसम नियम द्वारा]
⇒ AC = EB ...[CPCT द्वारा]
⇒ `1/2` EB = `1/2` AC ...[दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर]
⇒ BD = `1/2` AC
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि: △ABC ≌ △CDA है।
एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि:
- △AMC ≌ △BMD
- ∠DBC एक समकोण है।
- △DBC ≌ △ACB
- CM = `1/2` AB
AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि:
- AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
- AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
∆ABC ≅ ∆RPQ दिया हुआ है। क्या यह कहना सत्य है कि BC = QR है? क्यों?
AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों B और C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। BO को एक बिंदु M तक बढ़ाया जाता है। सिद्ध कीजिए कि ∠MOC = ∠ABC है।
एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
एक समतल दर्पण LM के सम्मुख स्थित बिंदु A पर रखी किसी वस्तु का प्रतिबिम्ब एक प्रेक्षक D से बिंदु B पर देखता है, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दर्शाया गया है। सिद्ध कीजिए कि यह प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर है जितनी दूरी पर वह वस्तु दर्पण के सम्मुख है।
[संकेत : CN दर्पण पर अभिलंब है। साथ ही, आपतन कोण = परावर्तन कोण।]
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AB = BC और AD = CD है। दर्शाइए कि BD दोनों कोणों ABC और ADC को समद्विभाजित करता है।
दो रेखाएँ l और m बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं तथा P बिंदु O से होकर जाने वाली रेखा n पर स्थित कोई बिंदु इस प्रकार है कि P रेखाओं l और m से समदूरस्थ है। सिद्ध कीजिए कि n रेखाओं l और m के बीच बनने वाले कोण का समद्विभाजक है।
AB और CD क्रमश : एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएं हैं। ∠B और ∠D में से निश्चित कीजिए कि कौन बड़ा हैं।
