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प्रश्न
एक त्रिभुज ABC में, D भुजा AC का मध्य-बिंदु है ताकि BD = `1/2` AC है। दर्शाइए कि ∠ABC एक समकोण है।
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उत्तर
दिया गया है - ΔABC में, D, AC का मध्य-बिंदु है, अर्थात, AD = CD इस प्रकार है कि BD = `1/2` AC है।
दर्शाना है - ∠ABC = 90°
प्रमाण - हमारे पास, BD = `1/2` AC ...(i)
चूँकि D, AC का मध्य-बिंदु है।
∴ AD = CD = `1/2` AC ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
AD = CD = BD
ΔDAB में, AD = BD ...[ऊपर सिद्ध]
∴ ∠ABD = ∠BAD ...(iii) [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
∆DBC में, BD = CD ...[ऊपर सिद्ध किया गया]
∴ ∠BCD = ∠CBD ...(iv) [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
ΔABC में, ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° ...[त्रिभुज के कोण योग गुण द्वारा]
⇒ ∠ABC + ∠BAD + ∠DCB = 180°
⇒ ∠ABC + ∠ABD + ∠CBD = 180° ...[समीकरण (iii) और (iv) से]
⇒ ∠ABC + ∠ABC = 180°
⇒ 2∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 90°
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