Question

एक समकोण त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि कर्ण के मध्य-बिंदु को उसके सम्मुख शीर्ष से मिलाने वाला रेखाखंड कर्ण का आधा होता है।

Answer 1

दिया गया है - ΔABC में, ∠B = 90° और D, AC का मध्य-बिंदु है।

रचना - BD को E तक इस प्रकार बढ़ाइए कि BD = DE और EC को मिला दे।

सिद्ध करना है - BD = `1/2` AC 

प्रमाण - ΔADB और ΔCDE में,

AD = DC  ...[∵ D, AC का मध्य-बिंदु है।] 

BD = DE   ...[रचना द्वारा]

और ∠ADB = ∠CDE  ...[शीर्षाभिमुख कोण]

∴ ΔADB ≅ ΔCDE  ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

⇒ AB = EC  ...[CPCT द्वारा]

और ∠BAD = ∠DCE  ...[CPCT द्वारा]

लेकिन ∠BAD और ∠DCE एकांतर कोण हैं।

तो, EC || AB और BC एक तिर्यक रेखा है।

∴ ∠ABC + ∠BCE = 180°  ...[आंतरिक कोण]

⇒ 90° + ∠BCE = 180°   ...[∵ ∠ABC = 90°, दिया गया है।]

⇒ ∠BCE = 180° – 90°

⇒ ∠BCE = 90°

ΔABC और ΔECB में,

AB = EC  ...[ऊपर सिद्ध किया गया]

BC = CB   ...[उभयनिष्ठ पक्ष]

और ∠ABC = ∠ECB   ...[प्रत्येक 90°]

∴ ΔABC ≅ ΔECB   ...[SAS सर्वांगसम नियम द्वारा]

⇒ AC = EB   ...[CPCT द्वारा]

⇒ `1/2` EB = `1/2` AC   ...[दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर]

⇒ BD = `1/2` AC   

अतः सिद्ध हुआ।