Question

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि:

1. △AMC ≌ △BMD
2. ∠DBC एक समकोण है।
3. △DBC ≌ △ACB
4. CM = `1/2` AB

Answer 1

चूँकि M, AB का मध्य-बिंदु है।

∴ BM = AM

i. ΔAMC और ΔBMD में, हमारे पास है

CM = DM                 ...[दिया गया है]

∠AMC = ∠BMD        ...[शीर्षाभिमुख कोण]

AM = BM                 ...[ऊपर सिद्ध किया गया है।]

∴ ΔAMC ≅ ΔBMD    ...[SAS सर्वांगसमता से]

ii. चूँकि ΔAMC ≅ ΔBMD

∠MAC = ∠MBD         ...[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा]

लेकिन वे एकांतर अंत: कोणों की जोड़ी बनाते हैं।

∴ AC ‖ DB

अब, BC एक तिर्यक रेखा है जो समांतर रेखाओं AC और DB को प्रतिच्छेद करती है।

∴ ∠BCA + ∠DBC = 180°        ...[सह-अंत: कोण]

लेकिन ∠BCA = 90°          ...[ΔABC, C पर समकोण है]

∴ 90° + ∠DBC = 180°

⇒ ∠DBC = 90°

iii. फिर से, ΔAMC ≅ ΔBMD         ...[ऊपर सिद्ध किया गया है।]

∴ AC = BD                            ...[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा]

अब, ΔDBC और ΔACB में, हमारे पास है

BD = CA                         ...[ऊपर सिद्ध किया गया है।]

∠DBC = ∠ACB                 ...[प्रत्येक 90°]

BC = CB                           ...[उभयनिष्ठ]

∴ ΔDBC ≅ ΔACB             ...[SAS सर्वांगसमता द्वारा]

iv. चूँकि, ΔDBC ≅ ΔACB

⇒ DC = AB              ...[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा]

But DM = CM          ...[दिया गया है]

∴ CM = `1/2` DC = `1/2` AB

⇒ CM = `1/2` AB