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प्रश्न
एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि:
- △AMC ≌ △BMD
- ∠DBC एक समकोण है।
- △DBC ≌ △ACB
- CM = `1/2` AB
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उत्तर
चूँकि M, AB का मध्य-बिंदु है।
∴ BM = AM
i. ΔAMC और ΔBMD में, हमारे पास है
CM = DM ...[दिया गया है]
∠AMC = ∠BMD ...[शीर्षाभिमुख कोण]
AM = BM ...[ऊपर सिद्ध किया गया है।]
∴ ΔAMC ≅ ΔBMD ...[SAS सर्वांगसमता से]
ii. चूँकि ΔAMC ≅ ΔBMD
∠MAC = ∠MBD ...[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा]
लेकिन वे एकांतर अंत: कोणों की जोड़ी बनाते हैं।
∴ AC ‖ DB
अब, BC एक तिर्यक रेखा है जो समांतर रेखाओं AC और DB को प्रतिच्छेद करती है।
∴ ∠BCA + ∠DBC = 180° ...[सह-अंत: कोण]
लेकिन ∠BCA = 90° ...[ΔABC, C पर समकोण है]
∴ 90° + ∠DBC = 180°
⇒ ∠DBC = 90°
iii. फिर से, ΔAMC ≅ ΔBMD ...[ऊपर सिद्ध किया गया है।]
∴ AC = BD ...[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा]
अब, ΔDBC और ΔACB में, हमारे पास है
BD = CA ...[ऊपर सिद्ध किया गया है।]
∠DBC = ∠ACB ...[प्रत्येक 90°]
BC = CB ...[उभयनिष्ठ]
∴ ΔDBC ≅ ΔACB ...[SAS सर्वांगसमता द्वारा]
iv. चूँकि, ΔDBC ≅ ΔACB
⇒ DC = AB ...[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा]
But DM = CM ...[दिया गया है]
∴ CM = `1/2` DC = `1/2` AB
⇒ CM = `1/2` AB
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