Question

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और O को जोड़िए। दर्शाइए कि:

1. OB = OC
2. AO कोण A को समद्विभाजित करता है।

Answer 1

(i) ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC

∠C = ∠B          ...[त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।]

⇒ ∠OCA + ∠OCB = ∠OBA + ∠OBC

⇒ ∠OCB + ∠OCB = ∠OBC + ∠OBC

∵ OB, ∠B को समद्विभाजित करता है।

∴ ∠OBA = ∠OBC

और OC, ∠C को समद्विभाजित करता है।

∴ ∠OCA = ∠OCB

⇒ 2∠OCB = 2∠OBC

⇒ ∠OCB = ∠OBC

अब, △OBC में,

∠OCB = ∠OBC       ...[ऊपर सिद्ध किया है]

∴ OB = OC             ...[समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ]

(ii) अब △AOB और △AOC में,

AB = AC           ...[दिया है]

∠OBA = ∠OCA

∠B = ∠C

BO, ∠B और CO, ∠C को समद्विभाजित करता है।

∠OBA = ∠OCA

OB = OC

∴ △AOB ≌ △AOC          ...[SAS सर्वांगसमता नियम से]

⇒ ∠OAB = ∠OAC          ...[सर्वांमसम त्रिभुजों के संगत भाग]

अतः AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।