Question

AB और AC त्रिज्या r वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ इस प्रकार हैं कि AB = 2AC है। यदि p और q क्रमश : केंद्र से AB और AC की दूरियाँ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि 4q² = p² + 3r² है।

Answer 1

दिया गया है - r त्रिज्या के एक वृत्त में दो जीवाएँ AB और AC इस प्रकार हैं कि AB = 2AC है। साथ ही, केंद्र से AB और AC की दूरियाँ क्रमश : p और q हैं।

सिद्ध करना है - 4q² = p² + 3r²

उपपत्ति - माना AC = a, तब AB = 2a

केंद्र O से जीवा AC और AB पर क्रमश : M और N पर लंब खींचा जाता है।

∴ `AM = MC = a/2`

AN = NB = a 

ΔOAM में, AO² = AM² + MO²  ...[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]

⇒ `AO^2 = (a/2)^2 + q^2` ...(i)

ΔOAN में, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें, 

AO² = (AN)² + (NO)²

⇒ AO² = (a)² + p²  ...(ii)

समीकरण (i) और (ii) से,

`(a/2)^2 + q^2 = a^2 + p^2`

⇒ `a^2/4 + q^2 = a^2 + p^2`

⇒ a² + 4q² = 4a² + 4p²  ...[दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर]

⇒ 4q² = 3a² + 4p²

⇒ 4q² = p² + 3(a² + p²)

⇒  4q² = p² + 3r²  ...[समकोण ΔOAN में, r² = a² + p²]

अतः सिद्ध हुआ।