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Question
निम्नलिखित आकृति में, AB और CD एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं, जो E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि AEC = `1/2` (चाप CXA द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण + चाप DYB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण) है।
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Solution
दिया गया है - एक आकृति में, दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं।
साबित करने के लिए - ∠AEC = `1/2` ...[चाप C × A द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण + चाप DYB द्वारा केंद्र में बनाया गया कोण]
रचना - वृत्त पर बिंदुओं l और H पर DO और BQ रेखाओं का विस्तार करें। एसी भी ज्वाइन करें।
उपपत्ति - हम जानते हैं कि, एक वृत्त में, एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, वृत्त के शेष भाग पर बनाए गए कोण का दुगुना होता है।
∴ ∠1 = 2∠6 ...(i)
और ∠3 = 2∠7 ...(ii)
ΔAOC में, OC = OA ...[दोनों वृत्त की त्रिज्या हैं।]
∠OCA = ∠4 ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
साथ ही, ∠AOC + ∠OCA + ∠4 = 180° ...[त्रिभुज के कोण योग गुण से]
⇒ ∠AOC + ∠4 + ∠4 = 180°
⇒ ∠AOC = 180° – 2∠4 ...(iii)
अब, ΔAEC में, ∠AEC + ∠ECA + ∠CAE = 180° ...[त्रिकोण के कोण गुण योग के अनुसार]
⇒ ∠AEC = 180° – (∠ECA + ∠CAE)
⇒ ∠AEC = 180° – [(∠ECO + ∠OCA) + ∠CAO + ∠OAE]
= 180° – (∠6 + ∠4 + ∠4 + ∠5) ...[∠OCD में, ∠6 = ∠ECO बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
= 180° – (2∠4 + ∠5 + ∠6)
= 180° – (180° – ∠AOC + ∠7 + ∠6) ...[समीकरण (iii) से और ΔAOB में, ∠5 = ∠7, क्योंकि (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)]
= `∠AOC - (∠3)/2 - (∠1)/2` ...[समीकरण (i) और (ii) से]
= `∠AOC - (∠1)/2 - (∠2)/2 - (∠3)/2 + (∠2)/2` ...`["जोड़ना और घटाना" (∠2)/2]`
= `∠AOC - 1/2 (∠1 + ∠2 + ∠3) + (∠8)/2` ...[∵ ∠2 = ∠8 शीर्षाभिमुख कोण]
= `∠AOC - (∠AOC)/2 + (∠DOB)/2`
⇒ `∠AEC = 1/2 (∠AOC + ∠DOB)`
= `1/2` ...[चाप CXA द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण + चाप DYB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण]
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