Question

AB और AC एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠BAC का समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

Answer 1

दिया गया है - हमारे पास एक वृत्त है जिसका केंद्र O है तथा जीवा AB और AC बराबर हैं। AM, ∠BAC का समद्विभाजक है।

सिद्ध करना है - केन्द्र O, ∠BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।

रचना - BM और CM को मिलाइये।

प्रमाण - ΔBAM और ΔCAM में,

AB = AC  ...[दिया गया है।]

∠BAM = ∠CAM  ...[दिया गया है।]

AM = AM  ...[सामान्य]

∴ ΔBAM ≅ ΔCAM   ...[SAS सर्वांगसमता द्वारा]

`\implies` BM = CM  [C.P.C.T. द्वारा]  ...(i)

और ∠BMA = ∠CMA   [C.P.C.T. द्वारा]  ...(ii)

ΔBOM और ΔCOM में,

BM = CM   ...[(i) द्वारा]

OM = OM   ...[सामान्य]

∠BMO = ∠CMO    ...[(ii) द्वारा]

∴ ΔBOM और ΔCOM   ...[SAS सर्वांगसमता द्वारा]

`\implies` ∠BOM = ∠COM  [C.P.C.T. द्वारा]  ...(iii)

चूँकि, ∠BOM + ∠COM = 180°   ...(iv)

∴ (iii) और (iv) से, ∠BOM = ∠COM = 90°

तो, AM जीवा BC का लंबवत समद्विभाजक है।

इस प्रकार, ∠BAC का समद्विभाजक अर्थात् AM, केन्द्र O से होकर जाता है।