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प्रश्न
AB और AC एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠BAC का समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
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उत्तर
दिया गया है - हमारे पास एक वृत्त है जिसका केंद्र O है तथा जीवा AB और AC बराबर हैं। AM, ∠BAC का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है - केन्द्र O, ∠BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।
रचना - BM और CM को मिलाइये।
प्रमाण - ΔBAM और ΔCAM में,
AB = AC ...[दिया गया है।]
∠BAM = ∠CAM ...[दिया गया है।]
AM = AM ...[सामान्य]
∴ ΔBAM ≅ ΔCAM ...[SAS सर्वांगसमता द्वारा]
`\implies` BM = CM [C.P.C.T. द्वारा] ...(i)
और ∠BMA = ∠CMA [C.P.C.T. द्वारा] ...(ii)
ΔBOM और ΔCOM में,
BM = CM ...[(i) द्वारा]
OM = OM ...[सामान्य]
∠BMO = ∠CMO ...[(ii) द्वारा]
∴ ΔBOM और ΔCOM ...[SAS सर्वांगसमता द्वारा]
`\implies` ∠BOM = ∠COM [C.P.C.T. द्वारा] ...(iii)
चूँकि, ∠BOM + ∠COM = 180° ...(iv)
∴ (iii) और (iv) से, ∠BOM = ∠COM = 90°
तो, AM जीवा BC का लंबवत समद्विभाजक है।
इस प्रकार, ∠BAC का समद्विभाजक अर्थात् AM, केन्द्र O से होकर जाता है।
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